高数第三章第五次函数极值最值.pptx

第三章第五节函数的极值和最值探讨函数的极大值和极小值的重要概念。了解如何通过微分法和其他数学方法找到函数的最大值和最小值,在诸多领域如物理、经济学和工程学中广泛应用。byJerryTurnersnull

函数极值的定义函数极大值当函数在某一点取得最大值时,该点称为函数的极大值点。在该点处,函数的导数等于0,且二阶导数小于0。函数极小值当函数在某一点取得最小值时,该点称为函数的极小值点。在该点处,函数的导数等于0,且二阶导数大于0。局部极值函数在某一个邻域内取得最大值或最小值的点称为函数的局部极值点。它们是函数的关键性质。

函数极值的求解步骤分析函数性质,确定函数定义域求函数一阶导数,找出函数的临界点检查临界点是否满足一阶必要条件利用二阶导数或单调性检查临界点是否为极值点将满足极值条件的临界点代入原函数,计算函数极值分析函数图像,得出极值的个数及性质

函数极值的性质1连续性函数在极值点处必须连续。极值点不能出现突然的跳跃或断点。2可导性在极值点处,一阶导函数必须等于0。否则函数在该点将不存在极值。3单调性在极值点的左右两侧,函数必须呈现相反的单调性。这是判断极值的重要依据。

函数极值的判定判断函数是否存在极值,需要先确定该函数的可微性,即函数的一阶导数是否连续。只有当函数在某点可微时,该点才可能是极值点。然后利用一阶导数或二阶导数的性质来判断该点是否为极值点。同时还要注意函数的单调性、凹凸性以及拐点等性质,这些都与函数的极值有密切关系,可以为判断极值提供有力依据。

函数最值的求解要求解函数的最值,首先要判断函数是否有极值,并确定极值的位置。然后比较不同极值的大小,找出全局最值。这需要运用一阶导数和二阶导数的性质,掌握函数的单调性和凹凸性。同时还需要分析函数的拐点,综合运用多种方法才能准确找出函数的最值。

函数最值的性质识别最值对于给定的函数,通过分析其函数图像和导数变化情况,可以有效地识别出函数的最大值和最小值。最值特征函数的最大值和最小值往往表现为函数图像上的高峰和低谷,具有明显的特征。最值定性函数最值不仅可以定量地给出函数在某点的极值,还可以定性地判断函数在某个区间的整体最值特点。

函数最值的应用函数最值在各个领域都有广泛的应用,包括工程、经济、物理等。比如在工程设计中,我们可以利用函数最值来找到最优的结构参数,使结构达到最大承载力。在经济领域,企业可以利用函数最值找到产品价格或生产成本的最优值,从而实现利润最大化。在物理中,我们可以利用函数最值来寻找物理量的最极值,如温度、压力、能量等。

单调性与极值的关系单调递增和递减若函数在某区间内单调递增(或递减),那么该函数在这个区间内必定没有极小值(或极大值)。拐点和极值函数在拐点处一定存在极值,但反之则不一定成立。极值可能出现在非拐点处。凹凸性与极值在函数的凹区域,必定存在极大值;在函数的凸区域,必定存在极小值。凹凸性可用二阶导数判断。

凹凸性与极值的关系1凸函数函数在某区间内曲线向上凸起2极小值函数在该点取得最小值3极大值函数在该点取得最大值凸函数在其定义区间内具有特定的曲线性质,即函数图像在该区间内总是向上凸起。对于这样的函数,它的极值点必定是极小值。而对于向下凸起的凹函数来说,其极值点则是极大值。因此,函数的凹凸性与其极值点性质之间存在着密切的联系。

拐点与极值的关系1拐点发现通过分析函数二阶导数的变号找到拐点2极值判断利用拐点的位置确定函数的极值3综合应用结合拐点和极值分析函数的形状和性质函数的拐点与极值之间存在密切联系。通过分析函数二阶导数的变号,可以找到拐点的位置。进而利用拐点的位置可以确定函数的极值。同时,拐点和极值的综合分析有助于全面把握函数的形状和性质。

利用一阶导数判断极值利用函数的一阶导数可以判断函数的极值。一般步骤如下：求函数的一阶导数f(x)。找出一阶导数f(x)等于0的点，即临界点。在临界点处检查一阶导数f(x)的符号变化情况：如果f(x)在临界点处由正变负，则该点是极大值点。如果f(x)在临界点处由负变正，则该点是极小值点。如果f(x)在临界点处不变号或者在临界点处f(x)=0但f(x)也等于0，则无法确定是极大值还是极小值。

利用二阶导数判断极值二阶导数分析法通过计算函数的二阶导数,可以判断出函数在某点是局部最大值还是局部最小值。当二阶导数为正时,该点为局部最小值;当二阶导数为负时,该点为局部最大值。二阶导数判定标准若在某点f(x)=0,且f(x)0,则该点为局部最小值;若f(x)0,则该点为局部最大值。这就是利用二阶导数判断极值的基本原理。应用举例例如对于函数f(x)=x^3-6x^2+9x-3,可以通过计算二阶导数f(x)来判断其极值性质。

利用单调性判断极值单调递增与极大值如果函数在某个区间内呈现单调递增趋势,则该区间内不存在极大值。