排列组合应用题解法.ppt

浙江省玉环县楚门中学吕联华 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 1.排列的定义: 2.组合的定义: 3.排列数公式: 4.组合数公式: 排列与组合的关键是问题与次序有无关系。 5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。 例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种 在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？ 解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 第二步排其余的位置： 解二：第一步由葵花去占位： 第二步由其余元素占位： 小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。 例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果 舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的 排法有几种？ 【图示】 解：5个独唱节目的排法是 ， ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ 小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限 制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插入法。 舞蹈不排在头一个节目，又 需任何两个舞蹈不连排，只要把舞蹈节目，插入独唱节目的 5个空隙中即可，即舞蹈节目的排法是 ， 所以排法的种数 为 。 例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中 3个方按 钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮 中间，有多少种装法？ 【图示】 解：先把三个方按钮排好，有 种排法， 小结：如果某几个元素必须相邻时，首先可以把这几个元 先进行排列，然后把这几个元素捆绑在一起看成一个元素， 再与其它元素进行排列，这种方法叫捆绑法。 然后把三个方按 钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个按 钮排成一排，有 种排法， 所以共有 种装法。 例4：空间十个点A1，A2，A3，···········A10，其中A1，A2······ A5在同一平面内，此外再无三点共线四点共面，以这些点 为顶点，一共可以构成几个四面体？ A1· A2· ·A3 ·A4 ·A5 ·A6 ·A7 ·A8 ·A9 ·A10 【图示】 解：因为四面体需四个顶点组成 所以在十个点中取四个点共 有 种方法。 小结：在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先 把所有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元 素的取法数，这种方法叫排除法。 但四个点 在同一平面上不能组成四面体 ，所以排除同一平面上五个点 取四个点的情况共有 种 方法， 这样，一共可以构成 个四面体。 例5：圆周上有n个点（n≥6），用线段将它们彼此相连，这 些线段中任意三条在圆内没有公共点，问这些线段构成多 少个顶点在圆内的三角形？ A1 B2 B1 C2 C1 A2 所以，上述问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内三角形，从圆周上n个点中选6个点的组合数 就是圆内三角形的个数。 ° ° ° ° 解：圆内三角形ABC，AB，在A1B2 上，⊿ABC在A1B2的一侧，则BC 所在的B1C2 ，AC所在的A2C1都被 A1B2一截为二，即在A1B2的两侧 各有两点A2，B1，和C1，C2 ，同 理，在A2C1，B1C2 的两侧也各有 两点， 因此每一个圆内的三角形 决定圆周上6个点，反之，如在圆周上任取6个点，也可用上述方法找