连续体的有限元.ppt

5 网格的划分 1.网格疏密的合理布置 在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采取以下一些措施： 1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进行重分析。后一种方法称为总体——局部分析方法。 2）采用自适应分析方法。即对前一次分析的结果作出误差估计，如果误差超过规定，再由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后进行重分析，直至满足精度要求为止。 2、疏密网格的过渡 在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。 1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元形状不好而影响局部的精度； 2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形式的单元而带来不便； 3）采用多节点约束方法过渡。 第四节 应力计算结果的性质和处理 应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用系统的总位能Пp（表示各单元Пe之和）的变分得到的求解方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个节点的平衡条件以及各个单元和整个结构的总体平衡条件，但是从求解方程解得的则是各个节点的位移值。而实际工程问题所需要的往往是应力的分布，特别是最大应力的位置和数值。为此需要利用以下公式由已解得的节点位移算出单元内的应力。 ε=Bae σ=Dε=D Bae ae为节点位移矩阵 应变矩阵B是插值函数N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变ε和应力σ精度较位移u降低了，即利用以上两式得到的ε和σ的解答可能具有较大的误差。 应力解的近似性表现在： 1）单元内部一般不满足平衡方程； 2）单元与单元的交界面上应力一般不连续； 3）在力的边界上一般也不满足力的边界条件。 这是因为平衡方程式和力的边界条件以及单元交界面上内力的连续条件是泛函Пp的欧拉方程，只有在位移变分完全任意的情况下，欧拉方程才能精确的满足。 在有限元方法中，只有当单元尺寸趋于零时，即自由度数趋于无穷大时，才能精确的满足平衡方程和力的边界条件以及单元交界面上力的连续条件。 当单元尺寸限制时，即自由度数为有限时，这些方程只能是近似的满足。除非实际应力变化的阶次等于或低于所采用单元的应力阶次，得到的只能是近似的解答。因此，如何从有限元的位移解得到较好的应力解，就成为需要研究和解决的问题。 4.1应力近似解的性质 我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解总体上偏小。 分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。 4.2单元平均或节点平均 最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。 1.取相邻单元应力的平均值 这种方法最常用于3节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。 如2单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均， 即平均应力=（单元1的应力+单元2的应力）/2。 也可以采用精确一些的面积加权平均， 即平均应力=[单元1应力× 单元1的面积+单元2应力× 单元2面积]/（单元1面积+单元2面积） 当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的误差相近。 一般而言，3节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心点，此点的应力具有1阶的精度。 2.取围绕节点各单元应力的平均值 首先计算围绕该节点（i）周围的相关单元在该节点处的应力值 ，然后以它们的平均值作为该节点的最后应力值 ，即 其中，1-m是围绕在i节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。 2）划分网格要兼顾精度和经济性 在位移函数收敛的前提下，网格划的越密（即单元尺寸越小），计算结果越精确，另一方面，网格越密，单元越多，计算时间和费用将增加，同时也会受到计算机容量的限制。因此划分网格要兼顾精度和经济性。而且，经验表明，当网格加密到一定程度后，再加密网格