线性谐振子和粒子数表象.ppt

4.6线性谐振子和粒子数表象线性谐振子哈密顿量算符为（）其中厄米算符和满足如下对易关系：（4.6.2）定义两个非厄米算符和：（4.6.3）1.线性谐振子4.6线性谐振子和粒子数表象利用式（4.6.2）不难证明，这两个非厄米算符满足如下基本对易关系：（4.6.4）式（4.6.3）的逆变换关系为（4.6.5）利用式（4.6.5），并考虑到对易关系（4.6.4），哈密顿算符又可表示为（4.6.6）4.6线性谐振子和粒子数表象（4.6.7）由于与算符仅仅相差一个常数矩阵，所以我们只需求解的本征值问题。设它的属于本征值为的本征矢为，即首先，由于是一个右矢的模的平方，是非负数，因此可得到如下结论：（4.6.8）即的本征值为非负数。其次，利用对易关系（4.6.4）不难证明（4.6.9）4.6线性谐振子和粒子数表象这表明，若是的一个本征矢，相应的本征值，则也使它的一个本征矢，相应的本征值为。类似的将算符作用于本征矢，有（4.6.10）由此，我们可将称为“产生算符”，称为“湮灭算符”，如果是的一个本征矢，则和对这个本征矢作用后得到的新的右矢仍然是的本征矢，但其本征值增加或减小。重复的使用这种作用，我们可以从某一给定的本征矢出发，得到具有不同本征值的所有本征矢。这种方法可称为“阶梯法”。所得到的本征值谱显然是等间隔的，间隔为。4.6线性谐振子和粒子数表象最后，本征值取值条件（4.6.8）表明，本征值谱有一个下限，设下限为相应的本征矢为，即（4.6.11）由于是的属于最小本征值的本征矢，所以满足如下条件：（4.6.12）根据这个条件，由式（4.6.11）可得，这是唯一可能小于的本征值。零本征值的态可记为，称为基态。条件（4.6.12）可记为：（4.6.13）4.6线性谐振子和粒子数表象由于的本征值和本征矢可记为（4.6.14）（4.6.15）其中是归一化系数，待定。由式（4.6.6），（4.6.7）（4.6.14）可知即一维线性谐振子能量本征值为，这与波动力学方法所得到的结果一致。现在来考察基本算符和对表象基矢的作用。由式（4.6.9）的结果可知，与描写了同一个态，因此有（4.6.16）4.6线性谐振子和粒子数表象于是可得。若取，则式（）化为（）（）其中是常数。为了确定，对上式取模的平方，有由式（4.6.17）还可得到式（4.6.14）中归一化系数，于是一维线性谐振子哈密顿量的归一化的本征矢可表示为（4.6.19）4.6线性谐振子和粒子数表象（4.6.20）由式（4.6.17）和（4.6.18），可以立即得到算符和在能量表象中的矩阵元（4.6.21）利用算符，和，之间的变换关系（4.6.5），以及上述式（4.6.20）和（4.6.21），可以得到坐标算符和动量算符在谐振子能量表象中的矩阵元：（4.6.22）（4.6.23）