2025届高考数学一轮复习第9讲平面向量考点讲义含解析.doc
平面对量
一、向量的概念及表示
1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。(没有位置、不能比较大小)
(1)数量与向量的区分：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
(2)向量的表示方法：
①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作，的长度记作。用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度)
②用小写字母表示：、。(印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头)
(3)向量与有向线段的区分和联系：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；
③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。
2、向量的模：向量的大小――长度称为向量的模，记作。(能比较大小)
3、零向量：长度等于零、方向是随意的向量，记作。(留意与的含义与书写区分)
4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5、平行向量：(1)若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量；
(2)规定与任一向量平行。
说明：综合(1)(2)才是平行向量的完整定义；三点、、共线、共线；
向量平行无传递性，即，不能推出(可能为)。
留意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。
6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同始终线上(与有向线段的起点无关)。
说明：①平行向量可以在同始终线上，要区分于两平行线的位置关系；
②共线向量可以相互平行，要区分于在同始终线上的线段的位置关系。
7、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，则向量、是相等向量。
(1)相等向量：模相等，方向相同；
(2)相反向量：模相等，方向相反。
说明：随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
二、向量的加法
1、三角形法则
原理
已知向量、，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做与的和(或和向量)，记作，即。
图示
留意：(1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是其次个向量的终点．
(2)零向量与任一向量的和都有。
2、平行四边形法则
原理
已知两个不共线向量、，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。
图示
3、多边形法则
原理
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。
图示
4、向量加法的运算律
运算律
交换律
结合律
三、向量的减法
1、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)；
(3)；
(4)若与互为相反向量，则，，。
留意：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。
2、向量的减法：已知向量与(如图)，作，，则，向量叫做向量与的差，并记作，即，由定义可知：
(1)假如把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；
(2)一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量，或简记为“终点向量减始点向量”；
(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
留意：在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可。
四、数乘向量
1、数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作。
(1)长度：，
(2)方向：()的方向：当时，与同方向；当时，与反方向。
特殊地，当或时，或，中的实数叫做向量的系数。
(3)几何意义：就是把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小。
(4)运算律：设、，则①，②；③。
留意：①实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如、均无法运算；
②的结果为向量，所以当时，得到的结果为而不是。
2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。
3、两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则()叫做与的夹角。
说明：①当时，与同向；
②当时，与反向；
③当时，与垂直，记；
④留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的，夹角范围为。
4、平面对量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有()。
规定与任何向量的数量积为。
说明：两个向量