第七章数学解题的思维过程.ppt

2、联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径 人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有一定的趋向性。数学解题的定向，取决于观察问题的特征所作出的相应的联想，即从问题的条件和结论出发，联想有关知识，从中寻找途径。 3、转化是解题的手段，在转化中确定方案 从前面讨论过的解题实质表明，解题过程是通过转化得以完成的。从问题的具体特征，联想有关知识后，解题就有了定向，这时需要朝这个方向去努力，寻求转化关系，使问题应用联想的知识来解决，也就是在转化中确定方案。 2、广角投影原则 同一数学内容可以有多种不同的存在形式,同一数学形式又可以从多种内容上去理解.在探求解题思路时,要善于将条件或结论向两轴作多角度投影,在这个多角度的投影中,数学知识不是孤立的单点或离散的片段,数学方法也不是互不相关的一招一式,它们是不可分割或离散的整体,组成一条又一条的知识链.解题思路探求的敏捷性,发散性就在于,当知识链的某一环节受到刺激时,整条知识链就活跃起来. * 第七章 数学解题的思维过程 第一节 解题过程的思维分析 解题的过程是思维的过程，其中既有逻辑思维，又有直觉思维；有分析与综合?抽象与概括?比较与类比，也有归纳与猜想?观察与尝试?想象与顿悟，是一个极其复杂的心理过程。 一、 “观察----联想----转化”解题“三部曲” 1、观察是联想的基础，在观察中认识特征 观察是人们认识事物?增长知识的最基本的途径，是发现和解决问题的前提。 观察是积极的，有意识的，而不应是消极的?被动的。通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有意识地去寻找各种特征?联系，从比较中发现问题，从变化中寻找特点，特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系，同时，不仅解题开始要观察，在解题过程中也要观察，以便根据解题的不断变化，作出相应的决断。 二.解题思维过程的三层次 罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，将邓克尔的三个层次在数学解题思维过程中的作用解释为： 1、一般性解决：即在策略水平上的解决，以明确解题的大致范围或总体方向，这是对思考做定向调控。 2、功能性解决：即在数学方法水平上的解决，以确定具有解决功能的解题手段。这是对解决做方法选择。 3、特殊性解决：即在数学技能水平上的解决，以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推理步骤，这是对细节做实际完成。 三、解题思维过程的预见图 数学解题是一种探索性思维。在《数学的发现》一书中，波利亚将其观点进行进一步发挥，对各个细节进行了具体分析，认为探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜测，即作出某种预见。 预见需要一定的知识准备和思维活动,波利亚将这一过程总结为一个正方形图解式,处于正方形顶点、边和中心的关键词有:动员、组织、分离、结合、回忆、辨认、重组、充实、预见. 动员 重组 充实 回忆 结合 组织 分离 辨认 预见 第二节 数学解题的思维监控 数学解题中思维监控的作用，相当于“数学运算感受器”，对运算效果作出评价，它是一种认知监控，或者是元认知.所谓认知监控是指在自己的认知系统内准确评估信息过程的能力.元认知最初被表述为“个人关于自己的认知过程及其他相关事情的知识”,是“为完成某一具体目标或任务，认知主体依据认知对象对认知过程进行主动的监测，以及连续的调节和协调”，是“个人对认知领域的知识和控制”，因此，元认知被简单地表述为“关于认知的认知”.在数学解题思维过程中，元认知集中表现为自我反省、自我调节、自我监控. 第三节 解题坐标系 题目的条件和结论分别表示为坐标平面上的两个点. 它们的存在形式本身是内容与方法的统一,原点---两个思考方向的交叉点,表示一个原则:内容与方法的统一永远是解题思考的基本出发点. 1、解题坐标系的构成 以横轴表示数学方法方面的实施（方法轴），以纵轴表示数学原理方面的应用（内容轴），题目的条件和结论（包括题目求证的结论与题目未写出的结论）分别表示为坐标平面上的两个点。它们的存在形式本身就是内容与方法的统一，两个思考方法的交叉----原点，显示这样一个原则：内容与方法的统一是我们解题思考的基本出发点。 2、解题折线 解题示意为连结条件与结论两点间的一条折线，这条折线记录了数学思维的轨迹。它告诉我们，寻找条件和结论之间的逻辑通道时解题的思考中心。在这个思考中，横轴方法的推进表示方法或技巧的运用，纵轴方法的推进表示数学内容的转化，整个解题过程就是内容与方