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第一节 基本概念 矩阵概念 一些特殊的矩阵 矩阵问题的例 第二章 矩 阵 定义 1 m ? n 个元，排成 m 行 n 列（横称行， 纵称列）的矩型阵列（表） 称为维是 m ? n 的矩阵 (matrix) 简称为m ? n [型]矩阵. 一、矩阵概念 (2-1) 常用大写黑斜体字母 如A、B、C， ·····记之， 必要时也可以以下标来区别不同的矩阵， 如A1，A2， ····· 在书写矩阵时，也有将 的m ? n矩阵写作 这里的 aij 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的代表性元 (今后简称为该矩阵的 i- j 元) A= [aij ] 另外 , 在不致引起混淆时还常将 简记作 二、一些特殊的矩阵 或者元本身就是个矩阵或其他更一般的数学对象. 我们分别称这种矩阵为实矩阵、复矩阵、超矩阵等. 本书涉及的总是实矩阵. m=n 的情形，此时称之为n 阶方阵或 n 阶矩阵. 矩阵 的元可以是实数也可以出现复数, 从矩阵的形状看，遇到最多的是在 中 行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如 (1) 方阵 A 称为 n ? n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 今后，常将 1 阶矩阵作为数对待. （2-2） 在表达矩阵的时候，元素之间不需添加逗号. 另外，只有一列（即 n = 1）或一行（即m = 1） 的矩阵也常碰到. (2) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如 A = ( a11 a12 … a1n ). 如 只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 作为列向量，常用小写黑体字母a，b,····记之， 而行向量则常被记作aT，bT,····或a′，b′,···· . 如 是个2×1的列矩阵，也可以当作列向量. 就向量而言，称其元为分量，分量的个数即 为向量的维. 故所谓n维向量就是 n 维数组，即 n个数的一个有序数组， 亦即是个n×1的列矩阵 或 1 × n的行矩阵. （2-3） 这样, 称（2-3）是二维向量. 今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量. 对于方阵，主对角线是自左上角到右下角的那 条连线. 一般称元 ai,i+1 位于 A 的上对角线上, 在下列这个 4 阶矩阵中,δ 表明其主对角线， 而μ及λ分别标示上、下对角线： 而元 ai,i-1 在 A 的下对角线上. (3) 上三角阵与下三角阵 对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其 上（或右）方，就称为上三角[形矩]阵（upper triangular matrix）, 有时用 U 或 R ( right ) 表示， 如： 是 4 阶上三角阵. 值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零， 而其他元可以是零也可以不是零. 相反，非零元只出现在对角线及其下（或左） 方的方阵为下三角[形矩]阵(lower triangular matrix) 记作 L ( left ). 如 是 3 阶下三角阵. [矩]阵（diagonal matrix）, 一个既是上三角又是下三角的矩阵称为对角 (4) 对角阵 亦即对角阵是非零元 只能在主对角线上出现的方阵. 如 是 3 阶的对角阵. 显然，由对角线元就足以确定对角阵本身， 故常将这对角阵记作 D = diag ( 12 , 3 , 4 ) . 同样， diag (δ1 ,δ2 ,·····,δn ) 表示一组对角元分 别为δ1 ,δ2 ,·····,δn的 n 阶对角阵， 详细写出就是 当然允许某些δ 等于零. （2-4） n diag d d d L ) , , , ( ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é n d d d L M M M L L 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 def