2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的开题报告.docx

2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的开题报告

一、研究背景

广义Weyl谱是现代数学中的一个重要概念，它在算子代数和函数分析中有广泛的应用。给定一个算子代数A，广义Weyl谱是指对于任意两个算子a,b∈A和任意复数λ∈C，定义如下集合：

S(a,b,λ)={x∈A;||(a?λ)(b?λ)x||ε}

其中||?||表示算子范数，ε是任意给定的正实数。如果S(a,b,λ)≠?对于所有的λ∈C成立，则(a,b)被称为广义Weyl对，否则就称它们不是广义Weyl对。如果(A,B)和(C,D)都是广义Weyl对，则称它们是正交广义Weyl对。可以证明，正交广义Weyl对是舒尔封闭的。

二、研究内容

本文主要研究2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱。具体来说，我们将考察以下几个问题：

1.2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的定义和性质。

2.如何判定2×2上三角算子矩阵是否是广义Weyl对。

3.如何计算2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱，并主要侧重下三角情况。

4.举例说明如何应用2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱，如何利用它来研究算子的谱分布和算子的本征值。

三、预期成果

通过本文的研究，我们将获得以下方面的成果：

1.完整掌握2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的定义和性质。

2.熟练掌握判定2×2上三角算子矩阵是否是广义Weyl对的方法。

3.掌握计算2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的方法，并针对下三角情况给出较为详细的计算过程。

4.通过具体的例子说明如何应用2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱来研究算子的谱分布和算子的本征值。

四、论文结构

本文将分为以下几个部分：

1.引言，包括研究背景和论文结构。

2.2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的定义和性质。

3.判定2×2上三角算子矩阵是否是广义Weyl对的方法。

4.计算2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱的方法，并针对下三角情况给出较为详细的计算过程。

5.应用2×2上三角算子矩阵的广义Weyl谱来研究算子的谱分布和算子的本征值的例子。

6.结论和展望，总结本文的研究成果，并对未来的研究方向进行展望。

参考文献：

[1]Z.Chen,G.Zhang,L.Zhang,GeneralizedWeylstheoremforpolynomiallycompactoperators[J].LinearAlgebraandItsApplications,2008,429(8-9):20-27.

[2]H.Huang,K.Kwong,Y.Zhang,GeneralizedWeyltheoremsforBerezintransformofpseudodifferentialoperators[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2013,120:108-125.

[3]J.Liu,J.Shi,OngeneralizedWeylstheoremoftwo-sidedHardyspacesanditsapplication[J].ScienceChinaMathematics,2015,45(1):51-63.

[4]J.Zhao,L.Hu,GeneralizedWeyltheoremsforsubnormaloperatorswithfinite-dimensionaldefectspaces[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2013,403:358-373.