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一类二阶椭圆型边值问题的小波解的开题报告

题目：一类二阶椭圆型边值问题的小波解

1.研究背景及意义

二阶椭圆型偏微分方程的求解是数学中的一个重要课题。在实际问题中，经常会遇到具有平滑和不平滑性质的二阶椭圆型偏微分方程。二阶椭圆型边值问题是一类具有广泛应用的问题，包括地质勘探、物理建模、工程设计、金融数学等领域。

小波分析是一种强大的数学工具，可以将一组信号或函数分解成不同频率的小波基函数，并且可以提供不同分辨率的信息。小波分析已经成功应用于信号处理、图像处理、压缩以及在科学中的各个领域等。

在最近几年，小波分析在偏微分方程中的应用得到了广泛的关注。小波方法可以用于解决一些偏微分方程问题，特别是那些具有不连续性的问题。通过小波基函数的分解和重构，可以得到局部的信息以及整体的信息，在解决某些非线性、不连续的问题时具有很大的优势。

因此，本文旨在研究一类二阶椭圆型边值问题的小波解，探索小波方法在解决偏微分方程问题中的应用，并为偏微分方程的数值解提供一种新的方法。

2.研究内容和计划

本文将研究二维椭圆型边值问题的小波解，具体计划如下：

（1）介绍二维椭圆型边值问题，以及小波分析的基础知识，包括小波基函数的定义、性质、正交性等。

（2）通过小波变换，将二维椭圆型边值问题转化成求解一系列常微分方程初值问题。

（3）利用数值算法求解常微分方程初值问题，并得到二维椭圆型边值问题的小波解。

（4）通过数值实验，验证小波方法在解决二维椭圆型边值问题中的可行性和有效性，并与传统数值方法进行对比分析。

3.预期成果

本文旨在研究一类二维椭圆型边值问题的小波解，预期成果如下：

（1）掌握小波方法在偏微分方程中的基本应用，加深对小波分析的理解。

（2）建立二维椭圆型边值问题的小波解的数学模型，并通过数值算法得到该问题的小波解。

（3）运用数值实验验证小波方法在解决二维椭圆型边值问题中的可行性和有效性，并分析其优劣之处。