研究生几个数学模型及建模方法.doc

第一、二章 数学模型与建模 数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁 在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。 一. 模 型 为了一定的目的，人们对原型的一个抽象 例如:航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型 用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。 例1：牛顿定律 假设： 1. 物体为质量为m的质点，忽略物体的大小和形状。 2. 没有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物体运动方向的作用力F。 引入变量 x(t)表示在t时刻物体的位置，则受力物体满足如下运动规律， 这就是牛顿定律的数学模型。 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发， 通过每座桥恰好一次，回到原地？ 由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。 三. 数学模型的特征 1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。 2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。 四. 建模举例 数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。 下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设； 如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题； 如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。 例 1. 管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道. 参量、变量： W ：带宽，C：圆管截面周长，(：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 （截口）包扎模型 进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M. 带长模型 问题: 1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上? 2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001) 例2. 桌子摆放 问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？ 建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。 假设： 1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。 2.地面的起伏是连续变化的。 3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。 参数，变量。 1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？ 记 xA ， xB、 xC、 xD分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。 则 当xA =xB= xC=xD =0时，桌子的四个脚同时着地。 2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？ 定位：方桌的对称中心O位于平面坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 记(为 AC与X轴的夹角, 则可用(表示桌子移动的位置。(0((. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。 令 f(()= xA(( ) + xC(( ), g(()= xB(( )+ xD(( ) 如果在位置 (*桌子四脚落地, 则有 f((*) = g((*) = 0. 根据假设 2 知 f(() 和 g(()是连续函数， 根据假设 3 有 f(() ( g(()(0， ( (. 根据假设1有 f((1)=g((0) 和 g((1)=f((0), 其中 (1=(0+ 900 模型： 已知f(() 和 g(()是连续函数，f(() ( g(()(0， ( (. 若 f((0) = 0, g((0) 0, 则存在(*使得f((*) = g((*)=0。 证明：因为 f((1)=g((0)0, g((1)=f((0)=0, 令 h(() = f(() - g((), 则 h(() 连续且 h((0) 0, h((1) 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在(*, (0(( *( (1, 使得 f((*) = g((*)=0。 问题： 1. 将例4的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。 2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、