专题3 全等三角形中动态问题中的几何变换与动点问题（解析版）.pdf

专题3全等三角形中动态问题中的几何变换与动点问题（解析版）

类型一全等三角形动态问题中的几何变换

（一）平移型

1．（2023春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB边所在的直线向下平移得到

△DEF，BC与DF交于H，下列结论中不一定正确的（）

A．AD＝BD

B．AD＝BE

C．∠DEF＝90°

D．S四边形ADHC＝S四边形BEFH

【思路引领】根据平移的性质逐一判断即可．

【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，

∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，

∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，

∴S四边形ADHC＝S四边形BEFH，

观察四个选项，AD≠BD不正确，

故选：A．

【总结提升】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

2．如图（a）所示，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB＝

CD．

（1）求证：BD平分EF（即EG＝FG）．

（2）若将DE向右平移、将BF向左平移，得到图（b）所示图形，在其余条件不变的情况下，（1）中的

结论是否仍然成立？请说明理由．

【思路引领】（1）要证明BD平分EF（即EG＝FG），可证明EG与FG所在的三角形全等（即证明△EGD

≌△FGB），由于DE⊥AC、BF⊥AC，∠BGF与∠DGE是对顶角的条件，所以解决问题的关键是证明有

一条边相等（DE＝BF），可通过证明△EDC与△FBA全等来实现，说明△EDC≌△FBA，通过AE＝CF

证明CE＝AF是关键；

（2）平移后△EDC与△FBA仍然相似，可仿照（1）进行推理证明．

【解答】解：（1）∵AE＝CF，EF＝EF，

∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE

∵DE⊥AC、BF⊥AC，

∴∠DEG＝∠BFG＝90°

在Rt△ABF和Rt△CED中，

=

=

∴△ABF≌△CED．

∴ED＝BF，

∵在△DEG和△BFG中，

∠=∠

∠=∠

=

∴△DEG≌△BFG，

∴EG＝FG，即BD平分EF．

（2）BD仍然平分EF．

理由：∵AE＝CF，EF＝EF，

∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE

∵DE⊥AC、BF⊥AC，

∴∠DEG＝∠BFG＝90°

在Rt△ABF和Rt△CED中，

=

=

∴△ABF≌△CED．

∴ED＝BF，

∵在△DEG和△BFG中，

∠=∠

∠=∠

=

∴△DEG≌△BFG，

∴EG＝FG，即BD平分EF

【总结提升】本题考查了三角形的判定和三角形的性质．解决本题亦可连接EB、FD，证明四边形BEDF

是平行四边形，利用平行四边形的性质说明BD平分EF．

（二）翻折型

3．（2023秋•来宾期末）如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：

∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（）

A．20°B．30°C．40°D．45°

【思路引领】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，

∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内

角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度

数．

【解答】解：在△ABC中，

∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，

∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，

则28x+5x+3x＝180°，

解得：x＝5°，

则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，

由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，

在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，

∴∠EOF＝∠AOD＝110°，

∴∠EFC＝∠B