流体学第5讲节.pdf

Shanghai Jiao Tong University 第五章 流体旋涡运动 Shanghai Jiao Tong University 5.1 涡量场 涡量(vorticity)用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为： Ω ∇× 2ω V 涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为： ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u Ω =− Ω =− Ω =− z x ∂ ∂ y ∂z ∂x ∂x ∂y y z 在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如 同在速度场中引入了流线、流管(流束)和流量一样。在涡量 场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。 Shanghai Jiao Tong University 5.2 涡线 涡线(vortex line)定义: 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上 任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度 ω ω ωi + ωj + k x 为 y z ，取过该点涡线上的微元矢量为 d s dxi dy j +dzk + ，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉 乘积为0，即 =× ωd s 0 dx dy dz ω ω ω x y z 这就是涡线方程。 Shanghai Jiao Tong University 5.3 涡管和涡丝 涡管(vortex tube)定义: 某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲 线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成 封闭的管形曲面。 如果曲线c构成的是微小截 面，那么该涡管称为微元涡 管。横断涡管并与其中所有 涡线垂直的断面称为涡管断 面，在微小断面上，各点的 旋转角速度相同。 涡管中充满着的作旋转运动 的流体称为涡束，微元涡管 中的涡束称为微元涡束或涡 丝(vortex filament)。 C Shanghai Jiao Tong University 5.4 旋涡强度 旋涡强度，也称涡通量(vortex flux)，定义如下： 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为 微元涡管的涡通量(旋涡强度)，即 Ω=⋅ dJ 2=⋅ωdcos(A ω ) n2ωdA dA n 对有限面积，则通过这一面积的涡通量 应为 Ω=⋅ J dA 2 ω dA ∫∫ ∫∫ n A A 如果面积A是涡束的某一横截面积，