椭圆各种类型题.docx
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面积类
1、已知椭圆:与正半轴、正半轴的交点分别为,动点是椭圆上任一点,求面积的最大值。
【解析】试题分析:先求顶点坐标,再求直线方程,根据椭圆的参数方程表示出点的坐标,然后再求点到直线的距离,表示出面积,然后求最值
试题解析:依题意,,,直线:,即 设点的坐标为,则点到直线的距离是 ,??????
当时,,????????????????
所以面积的最大值是?????????
考点:椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值
2、设点A(,0),B(,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为. (Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程; (Ⅱ)若直线过点F(1,0)且绕F旋转,与圆相交于P、Q两点,与轨迹C相交于R、S两点,若|PQ|求△的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).
【解析】(Ⅰ)设,则
化简 轨迹的方程为
(Ⅱ)设,的距离,
,将代入轨迹方程并整理得:设,则,
设,则上递增,
,
考点:椭圆,根与系数关系,基本不等式,坐标表示
3、已知椭圆的右焦点为,上顶点为B,离心率为,圆与轴交于两点 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,过点与圆相切的直线与的另一交点为,求的面积
【解析】 (Ⅰ)由题意,,,, ∵得,,
则,, 得,, 则??
(Ⅱ)当时,,,得在圆F上, 直线,则设 由得, 又点到直线的距离, 得的面积???
考点:椭圆,根与系数关系,坐标表示等,考查了学生的综合化简计算能力
4、设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆方程. (2) 过点的直线与椭圆交于不同的两点,当面积最大时,求.
【解析】 (1)由题意可得,,又,解得,所以椭圆方程为??????????????
(2)根据题意可知,直线的斜率存在,故设直线的方程为,设,由方程组消去得关于的方程?由直线与椭圆相交于两点,则有,即得 由根与系数的关系得 故??????又因为原点到直线的距离, 故的面积 令则,所以当且仅当时等号成立, 即时,?????????????
考点:1.椭圆方程;2.椭圆与直线综合;3.基本不等式.
5、已知椭圆的左、右焦点分别为、,P为椭圆?上任意一点,且的最小值为. (1)求椭圆的方程; (2)动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点,当为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.
【解析】(1)因为P是椭圆上一点,所以. 在△中,,由余弦定理得 . 因为,当且仅当时等号成立. 因为,所以. 因为的最小值为,所以,解得. 又,所以.所以椭圆C的方程为.
(2)设,则矩形ABCD的面积. 因为,所以. 所以. 因为且,所以当时,取得最大值24. 此时,. 所以当时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.
考点:椭圆的定义、余弦定理、二次函数
6、已知、分别是椭圆: 的左、右焦点,点在直线上,线段的垂直平分线经过点.直线与椭圆交于不同的两点、,且椭圆上存在点,使,其中是坐标原点,是实数. (Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)当取何值时,的面积最大?最大面积等于多少?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当时,的面积最大,最大面积为.
【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,根据题意得 ?解方程组得 ∴椭圆的方程为. 由,得. 根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根. ∴, 化简得:. 设、,则 . (1)当时,点、关于原点对称,,满足题意; (2)当时,点、关于原点不对称,. 由,得?即? ∵在椭圆上,∴, 化简得:. ∵,∴. ∵, ∴,即且. 综合(1)、(2)两种情况,得实数的取值范围是.
(Ⅱ)当时,,此时,、、三点在一条直线上,不构成. ∴为使的面积最大,. ∵ ∴. ∵原点到直线的距离, ∴的面积. ∵,, ∴. ∴. ∵, ∴. “” 成立,即. ∴当时,的面积最大,最大面积为
考点:直线和椭圆的相关问题,综合考查考生的运算求解能力.
7、设椭圆的离心率,是其左右焦点,点是直线(其中)上一点,且直线的倾斜角为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若?是椭圆上两点,满足,求(为坐标原点)面积的最小值.
【解析】(Ⅰ) 则,故?????????????????????
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,可设代入椭圆得 ,此时,? ,?当直线的斜率存在时,设代入椭圆得: ,???设 则??????? 由得: ? 当时,取等号,又,故的最小值为?. 考点:直线与椭圆的位置关系综合应用.
8、已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点. (I)求椭圆的方程; (II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.
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