2014届西安市昆仑中学高三数学复习讲义 第20课时：导数的应用.doc

课题：导数的应用 考纲要求： 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)； 会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 教材复习 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: 求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数 ①为增函数（为减函数）. ②在区间上是增函数≥在上恒成立； 在区间上为减函数≤在上恒成立. 极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点. 极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点. 极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个. （）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而. （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 求可导函数的极值的步骤: 确定函数的定义区间，求导数；求方程的根； 用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果“左正右负”，那么在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么在这个根处取得极小值；如果“左右不改变符号”，那么在这个根处无极值. 函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值． 说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值； 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值； 将的各极值与、比较得出函数在上的最值 题型一 利用导数研究函数的单调性 典例分析： 问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式≤的解集为 （江西）对于上可导的任意函数，若满足≥，则必有 ≤ ≥ （重庆）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是 函数有极大值和极小值 函数有极大值和极小值 函数有极大值和极小值 函数有极大值和极小值 设函数，在上均可导，且，则当时，有 （大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时， ，且，则不等式的解集是 （大纲）若函数在是增函数，则的取值范围是 （浙江文）已知函数 ． 若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； 若函数在区间上不单调，求的取值范围． 题型二 利用导数研究函数的极值和最值 问题2．（湖北文）已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围是 （浙江）已知为自然对数的底数，设函数，则 当时，在处取得极小值 当时，在处取得极大值 当时，在处取得极小值 当时，在处取得极大值 （天津）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值． 问题3．求函数在区间 上的最大值和最小值. 题型三 导数的综合应用 利用导数证明不等式 若函数没有零点，求实数的取值范围； 当时，求证：≥. 问题5．（北京）设为曲线 ：在点处的切线. 求的方程； 证明：除切点之外，曲线在直线的下方. 利用导数已知函数，则方程在区间上的根有 个 个 个 个 （长安一中二模）设直线与函数，的图像分别交于点，则当达到最小值时的值为 ? 已知函数的图象如右图所示 (其中是函数的导函数)， 下面四个图象中的图象大致是 　　　　 （天津）函数的定义域是开区间, 导函数在内的图象如图所示，则函数 在开区