【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第9章第8节用向量方法求角与距离(理).doc
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第九章
一、选择题
1．(2014·新课标全国理)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 解法1：补成正方体ACBD－A1C1B1D1，取AD的中点E，连ME，可知四边形AEMN为平行四边形，ME∥NA．
BME为异面直线BM与AN所成的角．
设BC＝1，在BME中，ME＝BE＝，BM＝，
cos∠BME＝＝.
解法2：由条件知，CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
M(，，1)，N(，0,1)，
＝(，－，1)，＝(－，0,1)，
cos〈，〉＝＝＝，故选C．
[点评] 求异面直线所成角的关键是建立恰当的空间直角坐标系，请练习下题：
(2014·河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )
A．1 B．
C． D．
[答案] A
[解析] 设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1平面ABB1A1，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，
＝(2,0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，所以，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1，故选A．
2．(2014·宁夏银川调研)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 方法一：取A1C1的中点E，连接AE，B1E，如图．
由题易知B1E平面ACC1A1，
则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．
设正三棱柱侧棱与底面边长为1，
则sinB1AE＝＝＝.
方法二：如图，
以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则
A(，0,1)，B1(0，，0)，
＝(－，，－1)，
＝(0，，0)．
设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．
则sinθ＝|cos〈，〉|
＝||＝.
3．如图，平面ABCD平面ABEF，四边ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，
设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，
由?
?n1＝(1，－1,1)．
sinθ＝＝＝.
4．(2014·福建泉州二模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
点D1到平面A1BD的距离是
d＝＝＝.
[点评] 一、空间的距离
1．两点间的距离：连结两点的线段的长度．
2．点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．
3．点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．
连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．
4．平行直线间的距离：从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．
5．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．
6．直线与平面间的距离：如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．
7．两平行平面间的距离：两个平面的公垂线段的长度．
二、求距离的方法
1．综合几何方法
找出或作出有关距离的图形；
证明它符合定义；
在平面图形内计算．
空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．
2．向量法
(1)求直线到平面的距离
设直线a平面α，Aa，Bα，n是平面α的法向量，过A作ACα，垂足为C，则n，
·n＝(＋)·n＝·n，
|·n|＝||
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