2.3-第1课时-等腰(边)三角形的性质.ppt

2.3 等腰三角形 第2章 三角形 第1课时 等腰（边）三角形的性质 1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质； （重点） 2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明和计算.（重点、难点） 学习目标 导入新课 情境引入 思考：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 讲授新课 等腰三角形的性质 一 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 等腰三角形是轴对称图形. 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”). 总结归纳 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”). “三线合一”的操作 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） （√） A B C D ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， ∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD （1）∵AD是高， 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. X X X X √ √ 判一判 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE. 证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F， 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF， ∴ BF-DF=CF-EF， DF=EF， 即 BD=CE. F 典例精析 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． （2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例2 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °, ∴x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得 x=36 ° ， 在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度