2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习：2.3 数学归纳法].doc

选修2-2　　　　 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n(nN*，n1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋2　　　　　 B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 [答案]　B [解析]　n∈N*，n＞1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B. 2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(nN*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案]　B [解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B. 3．设f(n)＝＋＋…＋(nN*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A． B． C．＋ D．－ [答案]　D [解析]　f(n＋1)－f(n)＝ －＝＋－ ＝－. 4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(kN*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　) A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立 [答案]　C [解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　) A．假设n＝k(kN*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(kN)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案]　C [解析]　n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C. 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [答案]　C [解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C. 二、填空题 7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(nN*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． [答案]　B [解析]　n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)， n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B. 8．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________. [答案]　 [解析]　解法1：通过计算易得答案． 解法2：Sn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝1－＝. 9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________． [答案]　1－＝ [解析]　当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，左边＝右边． 三、解答题 10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(nN*)． (1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． [证明]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，a1＝1； 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，a2＝； 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，a3＝. 由此猜想an＝(nN*) (2)证明：当n＝1时，a1＝1结论成立， 假设n＝k(k≥1，且kN*)时结论成立， 即ak＝， 当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，2ak＋1＝2＋ak ak＋1＝＝， 当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数nN*，an＝成立． 一、选择题 11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1B．(k＋1)2 C．D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 [答案]　D [解析]　n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D. 12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋