3.1、3.2、3.3平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件﹝人教A选修4-1﹞.ppt

1．正射影的概念 给定一个平面α，从一点A ，称 为点A在平面α上的正射影． 一个图形上 所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影． ; 2．平行射影 设直线l与平面α相交，称 为投影方向，过点A作 的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称 为A沿l的方向在平面α上的平行射影． 一个图形上 所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．; 3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．; 4．两个定理 (1)定理1：圆柱形物体的斜截口是 ． (2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 ①βα，平面π与圆锥的交线为 ． ②β＝α，平面π与圆锥的交线为 ． ③βα，平面π与圆锥的交线为 ．; [例1]　如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是 (　　) A．椭圆　　　　　　　　　 B．圆 C．线段 D．射线 [思路点拨]　要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系． [解析]　因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等． [答案]　A; 平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．;1．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b 在α上的射影有可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号) 解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④.;答案：①②④;2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α 上的射影是____________． 解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段． 如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形． 答案：一条线段或梯形 ;3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影 为A′(A′不在BC上)． (1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形； (2)当∠BAC＝60°时，AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C.; [例2]　如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们 与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆 柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2. 求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦 点的椭圆． [思路点拨]　证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．; [证明]　如图，设点P为曲线上任一点， 连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球 面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与 两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分 别是两球面的切线，切点为K1、K2. 根据切线长定理的空间推广 ， 知PF1＝PK1，PF2＝PK2， 所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．; (1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状． (2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．; [例3]　证明：定理2