浅谈二次函数在中学数学中的应用 毕业论文.doc

【标题】浅谈二次函数在中学数学中的应用 【作者】邵雪梅 【关键词】二次函数??性质??最值??应用 【指导老师】刘 春 花 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言二次函数是重要的数学基础,内涵丰富,应用广泛.在中学数学中,二次函数的身影随处可见.不过,由于数学阶段性和渐进性的缘故,高中学生对二次函数相关知识的学习比较分散,教材中也欠缺系统的归纳和提升.因此,学生应在适当的时候,及时加以总结、巩固和提高.二次函数作为高考的重点内容之一,经久不衰,而且常考常新.以二次函数为核心或归宿的试题,形式多变,时有新颖的试题入卷.对考查数学基础、能力和素质,以及有效拉开考生数学成绩的差距,发挥着良好的功能.因此,深刻理解二次函数的知识,了解知识之间的关系,掌握灵活运用这些知识点的技能,增强解答利用二次函数解决有关问题的能力,是提高高考数学成绩的一项基本功.练好这个基本功,宜从系统认识和掌握二次函数的解析式和图象入手,更深入的了解它在中学数学中的应用，通过适量和高效率的解题训练,掌握各种数学变换和问题转化的技能,以求达到熟练驾驭所学知识快速有效解题的目标.?本选题不仅在理论上丰富和发展了二次函数的应用方法和技巧，而且对社会经济的发展都有十分重要的意义．2二次函数的具体应用2．1一元二次方程实根的分布问题一元二次方程实根的分布问题是中学数学中的一个热点．所谓一元二次方程实根分布就是一元二次方程实根在数轴上的位置．即二次函数?的图像与?轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的实根?．我们可以利用根的判别式?与?的关系判断实根的个数、利用对称轴的分布、借助于不等式（组）讨论实根的分布问题?．例1：是否存在这样的实数?，使得一元二次方程?有两个实数跟，且两根都在?和?之间？如果有，试确定?的取值范围．分析：由于两根在某个确定的区间，因此可以判断出对应二次函数的对称轴在此区间，而且此区间两端点的函数值都大于零．解：根据已知，我们可以得到符合要求的?值应该满足下列不等式组：?????，?即?，?，??．?解以上不等式组得：??，?，?，?．???以上不等式无解．因此满足条件的?值不存在．评注：本题主要是利用一元二次的根的判别式以及根在区间分布的位置，找出参数?满足的条件，列出不等式组，解决方程中的参数．例2：已知函数?,当?为何值时，抛物线与?轴的两个交点都位于原点的右侧？分析：函数?与?轴焦点的横坐标，即为方程：?的根，我们可以结合方程求解．解：设?,即?，根据十字相乘法变形方程得：?解得：?????????，??．?两交点都位于x轴的右侧，????即?．评注：本题是将二次函数转化为相对应的一元二次方程，结合方程中实根的分布情况，解决函数中的参数．2．2二次函数的最值及其应用2．2．1二次函数的最值二次函数的最值在高中数学中是一个重要的知识点．对于二次函数?，当其定义域为闭区间时，常存在最大值和最小值;当定义域为开区间时，只有当对称轴在区间内时才有最值，否者不存在最值?．利用二次函数的这一性质，我们可以解决一类复杂的函数的最值问题．例3：?已知?满足?，求?的最大值和最小值．分析：本题应结合对数函数的有关性质，求出?的取值范围，再结合对数函数构造关于??的二次函数，利用二次函数求解．解：由不等式?，得：??????????，即?，??，设?,则?，???．????????如图所示，由图知：?????????????????????????　　　　　图2-1?，?????????????.评注：二次函数?在闭区间上的最值，当对称轴在闭区间时，其最值在顶点处和距较远的端点处取得．例4：已知????,求函数?的最值．分析：由已知先求出?的定义域，这是关键部分，然后将?代入，得到?是关于?的二次函数，从而求出解．解：由于在?中有?．??????因此在?中有?，?于是?．???又?????，???的定义域为?，?，=?，????令???则?，???，??由图知：?????????????????????　　　?图2-2对称轴?在?之外，且?，?．评注：本题说明二次函数?在闭区间上的最值，当对称轴在区间外的时候，其最值在两端点处取得．2．2．2二次函数最值的应用?以二次函数的最值为工具解决有关数学问题在中考、高考中也常有涉及，值得我们去关注?．下面举两个例子介绍二次函数最值得应用问题．例5：若?，在?上?求?得值．分析：此类题目中的参数?有各种可能的取值情况，在讨论的时候要注意考虑到每种情况的可能性，不要遗漏有些问题．?解：????,??????????对称轴?在?之间，?①若?，则图像开口向下，在顶点处取