专题四 平面向量——高考数学二轮复习重难点突破（含解析）.docx
2025年
专题四平面向量——高考数学二轮复习重难点突破
典例分析
考查方式
平面向量在高考中更注重基础，时有创新.平面向量以选择题、填空题为主，主要考查平面向量的基本概念、线性运算、数量积，其中平面向量的线性运算、数量积、向量共线、向量垂直、向量的模及向量的夹角问题是重点和热点，平面向量大多单独考查，有时也出现平面向量与其他知识的交汇问题，或以平面向量为载体的综合探究题.
高考真题
1．[2022年新高考Ⅱ卷]已知向量，，，若，则()
A.-6 B.-5 C.5 D.6
2．[2024年新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足，，且，则()
A. B. C. D.1
3．[2022年新高考Ⅰ卷]在中，点D在边AB上，.记，，则()
A. B. C. D.
4．[2024年新课标Ⅰ卷]已知向量，，若，则()
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5．[2023年新课标Ⅰ卷]已知向量，.若，则()
A. B. C. D.
6．[2023年新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足，，则___________.
重难突破
1.在矩形中，，，则向量的长度等于()
A.4 B. C.3 D.2
2.已知向量，.若a与b反向共线，则的值为()
A.0 B.48 C. D.
3.在中，点P在上，且，点Q是的中点，若，，则等于()
A. B. C. D.
4.已知向量a，b满足，，且，则()
A. B. C. D.1
5.已知点，，，若，点当P在第一、三象限的角平分线上时，的值为()
A.1 B.2 C. D.
6.已知向量a，b满足，，，则()
A. B. C. D.
7.已知A，B，C是平面内不共线的三个点.若，，则一定是()
A.直角（非等腰）三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.锐角（非等腰）三角形
8.若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知向量a在基底，下的坐标为，则a在另一组基底，下的坐标为()
A. B. C. D.
9.在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于()
A. B. C. D.
10.我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，，，则()
A. B. C. D.
11.在中，，，所对的边分别为a，b，c，若，，且D是BC边上的动点（不含端点），则的取值范围是()
A. B. C. D.
12.已知中，，，，，，则的最小值为()
A.3 B.5 C. D.
13.（多选）设a，b是两个非零向量.若，则下列结论正确的是()
A. B.
C.a在b上的投影向量为b D.
14.（多选）已知，，，，则()
A.
B.若，则，
C.若点A是BD的中点，则B，C两点重合
D.若点B，C，D共线，则
15.（多选）如图，在中，，，与BE交于点F，则下列说法正确的是()
A. B.
C. D.
16.已知，，若，则实数的值为___________.
17.设点O在的内部，D，E分别为边AC，BC的中点，且，则__________.
18.如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，E为线段BC的中点，若，则________.
19.已知平面单位向量，，满足.设，，向量a，b的夹角为，则的最小值是__________.
20.如图，在矩形中，M，N分别为线段，的中点，若，，，则的值为___________.
21.已知在平面直角坐标系中，点，，.
（1）求t的值；
（2）若点P，Q满足，，O为坐标原点，求的最小值.
22.如图，在平行四边形中，，垂足为P.
（1）若，求的长；
（2）设，，，，求的值.
23.已知向量以为基底的分解式为，其中，.
（1）求m，n的值；
（2）若，且，求实数k的值.
24.如图，在中，AD是BC边上的中线.
（1）取BD的中点M，试用和表示.
（2）若G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.若，（，），求的最小值.
25.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在边CD上.
（1）若，F是边CD上靠近C的三等分点，求的值；
（2）若，当时，求CF的长.
答案以及解析
高考真题
1．答案：C
解析：，，即，解得，故选C.
2．答案：B
解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.
3．答案：B
解析：如图，因为点D在边AB上，，所以，故选B.
4．答案：D
解析：解法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得，故选D.
解法二：因为，，所以.