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第一页，共二十四页，2022年，8月28日 金融数学 一、金融数学学科介绍 金融数学是指运用数学理论和方法,研究金融运行规律的一门新型交叉学科。 核心问题是证券组合理论与资产定价理论。 在现代金融数学理论中现代证券组合理论,资本资产定价模型、套利定价、期权定价理论和资产结构理论占据重要地位。 第二页，共二十四页，2022年，8月28日 二、数学理论与方法 主要有随机分析,随机控制,数学规划,微分对策,非线性分析, 泛函分析,鞅理论等。 也有人在证券价格分析中引进了新型的非线性分析工具,如 分形几何,混沌学,子波理论,模式识别等。 在金融计算方法与仿真技术中也逐渐引入神经网络方法, 人工智能方法,模拟退火法和遗传算法等。 三、金融数学的几个重要理论 1、马尔柯维茨现代证券组合理论 把投资组合中的股票价格作为随机变量,以均值衡量收益,用方 差表示风险。 也就是研究当收益一定，使组合风险最小的组合投资问题。 第三页，共二十四页，2022年，8月28日 在数学上可以归结为求如下的二次规划的最优解的问题： V为所持组合收益的协差阵，r 为投资者要求的最低收益率。 为买空卖空的限制。 第四页，共二十四页，2022年，8月28日 马尔柯维茨证明了多个证券的投资组合比投资单个证券可以降低 风险，这一直成为风险投资的指导原则。 2、资本资产定价模型（CAMP模型） 由于马尔柯维茨模型涉及到股票之间协差阵的计算，运算量太大， 在马尔柯维茨理论的基础上,在一系列假设条件下建立了资本资产定 价模型 CAMP模型的理论表明证券的预期收益可以用资产风险系数β 来度量。一方面为潜在的投资提供了一种估计其收益率的方法， 另一方面也可为不在市场上交易的资产同样作出合理的估价。 第五页，共二十四页，2022年，8月28日 3、期权定价理论（Black-Scholes模型） 期权是一纸合约，规定了合约的购买者在规定的时间以规定的 价格购买或出售某项金融资产的权利。 相应的可将之划分为看涨期权（买权）与看跌期权（卖权）， 投资者如果认为这项金融资产会涨价，那么他可以购买对应这项 金融资产的看涨期权，反之可以购买看跌期权。 按照期权合约执行方式的不同又可以分为欧式期权和美式期权。 欧式期权规定合约的持有人只能在到期日行权，而美式期权则可以 在购买后的任意时刻行权。 对期权合约的定价一直是金融数学中的一项重要的课题，因为 期权这种功能强大的金融衍生产品在国外金融市场上所占的比重 越来越大。 第六页，共二十四页，2022年，8月28日 Black 与 Scholes假设股票的价格服从对数正态分布,无套利机会, 没有交易费用等一系列理想假设下推导出了股票不付红利欧式期权在 任意时刻 t 的价格 C(t)所满足的微分方程： 边界条件为： 通过求解上面的带边值问题的微分方程得出了著名的B-S公式 第七页，共二十四页，2022年，8月28日 由于公式中的若干参数，关键是无风险利率r都与投资者偏好无关， 故也将B-S定价方法称之为风险中性定价方法，在金融资产的定价 中起着非常重要的作用。 四、金融数学中的未解问题与探索 1、美式期权问题 B—S公式解决的是欧式期权定价问题,而市场上交易的期权大部 分是美式期权，由于美式期权对投资者的执行时机不加限制所以也 造成了它的定价的巨大困难。 一般情况下,美式期权没有精确的解析定价公式,只能用数值算法 和解析近似解,如蒙特卡罗模拟法、数图法（二叉树）、有限差方法 等，对计算机能力要求较高。 2、标的资产价格波动率问题 一般常假设股票价格的波动服从某一随机过程,象几何布朗运动。 但是金融市场多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动, 第八页，共二十四页，2022年，8月28日 在B—S模型中,假设股票价格的波动率为常数,也不符合实际情 况。实务中常用的方法比如随机最优控制，随机微分方程，自回 归条件异方差等方法。 3、标的资产价格收益率的准确分布问题 B-S模型中假定标的资产价格收益率服从正态分布，也即价格 服从对数正态分布，但是经过大量的实务研究发现，价格收益率 并不是严格的正态分布，而是比正态分布具有更尖的峰与更厚的 尾部，也成为尖峰厚尾性。而选择怎样的分布来描述金融资产收 益率这样的特性却并没有特定的标准，所谓的仁者见仁。 4、突发事件问题 突发事件是小概率事件。一般的随机分析不能解释重大的金融 震荡，如股市崩盘，次贷危机等金融危机。虽然说从统计上来说 是小概率事件，但是一旦发生将是灾难性的。所以这也是金融数 学研究