用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件北师大版九年级数学上册.pptx
2.2.2用配方法解二次项系数
不为1的一元二次方程;教学重难点
重点：一元二次方程的解法，实际问题中的方程建模。
难点：配方法的步骤，实际问题中复杂等量关系的分析。
三、教学过程
1.情境导入（8分钟）
问题1：展示生活问题：
“一个矩形的面积是15cm2，长比宽多2cm，求长和宽。”
引导学生设未知数，列出方程
x(x+2)=15
，整理为
x
2
+2x?15=0
。
问题2：提问：
“这个方程与之前学的一元一次方程有何不同？”
引出课题：一元二次方程。
2.探究新知（30分钟）
活动1：一元二次方程的概念
定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一般形式：
ax
2
+bx+c=0
（
a
=0
），强调二次项系数不为零。
练习：判断下列方程是否为一元二次方程：
x
2
=4
，
3x+5=0
，
x
3
?2x=0
，
x(x?1)=x
2
+2
。
活动2：因式分解法解一元二次方程
原理：若
ab=0
，则
a=0
或
b=0
。
步骤：
移项使右边为0。
将左边因式分解。
令每个因式为0，解方程。
例题演示：解方程
x
2
?5x+6=0
，分解为
(x?2)(x?3)=0
，得
x=2
或
x=3
。
活动3：配方法解一元二次方程
步骤：
二次项系数化为1。
移项：常数项移到右边。
配方：两边加上一次项系数一半的平方。
开平方求解。
口诀：“一化二移三配方，四开五解六检验。”
例题演示：解方程
x
2
+4x?1=0
，配方得
(x+2)
2
=5
，解得。
活动4：公式法解一元二次方程
求根公式：由配方法推导得出
x=
2a
?b±
b
2
?4ac
?
?
。
判别式：
Δ=b
2
?4ac
，判断根的情况：
Δ0
：两个不等实根；
Δ=0
：两个相等实根；
Δ0
：无实根。
例题演示：解方程
2x
2
?5x+1=0
，代入公式得
x=
4
5±
17
?
?
。
活动5：实际问题中的方程建模
步骤：设未知数→找等量关系→列方程→求解→检验（舍去不符合实际的根）。
例题分析：
“某商品原价100元，连续两次降价后售价81元，求平均每次降价的百分率。”
设降价率为
x
，列方程
100(1?x)
2
=81
，解得
x=10%
。
3.例题解析（10分钟）
例题1：解方程
3x
2
?6x=0
。
方法??择：因式分解法，提取公因式
3x
，得
x=0
或
x=2
。
例题2：用配方法解方程
2x
2
?4x?1=0
。
步骤演示：系数化为1→配方→开平方。
例题3：
“一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长直角边的长度。”
设较长边为
x
，列方程
2
1
?
x(x?3)=9
，解得
x=6
（舍去负根）。
4.巩固练习（15分钟）
基础题：教材习题（解方程、判别式应用）。
拓展题：
某工厂今年一月份生产零件50万件，第一季度共生产182万件，求二、三月份平均每月的增长率。
小组合作：设计一道与生活相关的一元二次方程应用题并互解，重点训练建模能力。
5.课堂小结（7分钟）
学生总结：
一元二次方程的定义、解法步骤。
实际问题中如何列方程及检验根的合理性。
教师强调：
因式分解法优先，配方法是基础，公式法是通法。
注意二次项系数非零，实际问题中根的意义。
四、作业布置
基础题：教材课后习题（必做）。
实践题：
测量家中正方形地砖的边长，若面积减少20%后变为128cm2，求原边长。
思考题：
若方程
x
2
+mx+1=0
有两个相等实根，求
m
的值。能否用配方法验证？
五、教学资源
多媒体课件（含解方程步骤动画演示）。
配方法教具（如正方形纸片辅助理解配方过程）。
实物投影仪展示学生解题过程。;1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练
掌握其基本步骤，通过经历配方法解一元二次方程的过程，
提高运算能力.
2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，
体会其中的化归思想.;1.什么是配方法？
2.配方依据是什么？
3.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？;请观看视频;印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数有多少，两队猴子在一起？”
你能解决这个问题吗？;1.请同学们阅读课本38页例2及做一做.
2.请同学们比较下面两个一元二次方程，找出