(2020年编辑)第18章勾股定理知识点与常见题型总结.pdf

欢迎来主页 第 18 章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾 三，股四，弦五 ”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 1 2 2 方法一： 4S S正方形 EFGH S正方形 ABCD， 4 ab (b a) c ，化简可证． 2 D C H E G F b a A c B 方法二： b a a c b c c b c a a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 1 2 2 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 ab c 2ab c 2 大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2 所以 a2 b2 c2 1 1 1 2 方法三： S ( a b) (a b) ， S 2S ADE S ABE 2 ab c ，化简得证 梯形 梯形 2 2 2 精品文档 欢迎来主页 A a D b c E c a B b C ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝 角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在 ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2 ， b c2 a2 ， a c2 b2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形