高等数学-方向导数与梯度.ppt

9.8 方向导数与梯度 9.8.1 方向导数 定义9.5 (方向导数) 设二元函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域 内有定义, l 是以P0(x0, y0) 为起点的射线, 为其方向向量. 如果极限 存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0) 记为 如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向 或 的方向导数都存在, 注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 则 为D内的一个函数, 称为f (x, y)沿方向 的方向导函数(简称方向导数). 处沿方向 的方向导数, t一定为正! 是函数在某点沿任何方向的变化率. 方向导数 偏导数 分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 Δx、Δy可正可负！ 的变化率. 的方向导数存在, 同理, 函数 的方向导数存在, 存在时, 当函数 函数 函数 类似, 可定义三元函数的方向导数 对于三元函数 它在空间一点 的方向导数, 定义为 其中 定理9.12 处可微, 则函数 且 其中 类似地, 如果三元函数 处可微, 且 其中 注 即为 (1) (2) 计算方向导数只需知道l 的方向及函数的 偏导数. 在定点 的方向导数为 (3) (4) 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 解 令 故 其方向余弦为 例 设 处指向外侧的法向量, 求函数 故 解 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 并问在怎样的方向上此方向导数有 例 求函数 故 (1) 方向导数达到最大值 方向导数达到最小值 方向导数等于 0. 和 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 问在怎样的方向上此方向导数有 (2) (3) 考虑函数 定点 P0(3,1), P1(2,3). 解 求函数在 P0 沿 方向的方向导数. 练习 求函数 在点 处沿 解 切线方向的方向向量 在此点的切线方向上 曲线 的方向导数. 解 此方向的方向向量为 方向导数 最大或最小? 9.8.2 梯度的概念 问题: 函数 沿什么方向的方向导数为 方向导数取最大值 方向导数取最小值 其中 而 方向一致时, 方向相反时, 定义9.6 记作 即 处的梯度, 则梯度又可记为 为函数 称向量 引用记号 称为奈布拉算子, 或称为 向量微分算子或哈密尔顿算子, 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为 沿着 方向, 函数减少得最快. 方向： 模： f 变化率最大的方向 f的最大变化率之值 在几何上 被平面 所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线 称为曲面的等高线 表示一个曲面, 所截得 等高线 两端微分, 得