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1、上（下）三角矩阵的乘积、逆仍为上（下）三角矩阵 2、AB与BA迹相同tr(AB)=tr(BA)，如果A或者B可逆，则AB与BA特征值相同 1)、 2）、，两边取行列式并令其为令，即得到证明。 3、有上条性质可知：不存在满足AB-BA=I条件的方阵A、B 因为：tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0≠tr(I)=n 4、A和B都严格对角占优，但是A±B未必严格对角占优（例：B=-A或者B=A） 5、A和B可逆时 1≤cond(A)，因为║I║=║AA-1I║≤║A║║A-1║║I║两边消去║I║即得 由1）得到：║A║≥1/║A-1║，║A-1║≥1/║A║ 与2）对比有ρ(A)≤║A║，║A-1║≥1/ρ(A) 如果║A║＜1时收敛，则必发散，而║A║＞1时发散，则未必收敛 cond(AB)≤cond(A)cond(B)，利用范数相容性立即可得 由此引出的不等式： ║A-1-B-1║≤║A-1║║B-1║║A-B║ 因为║A-1- B-1║=║B-1- A-1║=║B-1(I- BA-1)║=║B-1(A- B)A-1║ ≤║B-1║║A- B║║A-1║ 对应地有║A-B║≤║A║║B║║A-1- B-1║ A非奇异，B奇异，则对于算子范数有1/Cond(A) ≤║A-B║/║A║ 因为B奇异，则存在y≠0，使得By=0，从而有x=y/║y║≠0，║x║=1，并且Bx=0，A-1Bx=0，x-A-1Bx=x，A-1(A-B)x=x，1=║x║=║A-1(A-B)x║≤║A-1(A-B)x║= =║A-1(A-B)║≤║A-1║║A-B║，两边除║A║即可得证。 由6）-7）组合，还可以得到更多的不等式。 8、正规阵同时又是三角阵，则它一定是对角阵 9、酉阵同时又是三角阵，则它一定是对角阵，并且对角元的模为1 10、对称矩阵的奇异值是特征值的绝对值 n阶实对称矩阵如果有n个互异的奇异值，则它有n个互异的特征值 11、相似变换、酉变换、正交变换不改变方阵的迹和行列式 因为上述变换不改变特征值，从而不改变特征值的和和乘积，从而也不改变迹与行列式。 12、酉变换、正交变换不改变向量的2-范数，从而不改变两点之间的欧几里得距离。 13、酉阵特征值的模为1，正交阵特征值的绝对值为1 14、x和e-x在任何区间[a,b]上线性无关 设cx+de-x=0，因为e-x永远不为零，如果c≠0，那么有x/e-x=-d/c，显然x/e-x在任何区间都不会是一个常数，从而必须c=0，这样一来d只有为零，因此只有当c=d=0等式才成立，线性无关。 15、如果║A║＜1则║(I-A)-1║≤1/(1-║A║) 因为ρ(A)≤║A║＜1，收敛到s=,两边乘(I-A)不影响收敛性， （I-A）s=(I-A)=I-lim(Ak)=I，所以=(I-A)-1，║(I-A)-1║≤≤ ≤=1/（1-║A║），同理可证║(I+A)-1║≤1/(1-║A║) 16、如果(I+A)奇异，则对一切范数║A║≥1 17、A∈Cn*n,对任意范数有， 首先存在某种范数 所以 ，取 得到 ，对不等式同时取极限即得到 再根据范数的等价性 对不等式同时取极限即得到 对任意范数的结果 18、A非奇异，对算子范数有 因为 19、 20、 21、 22、x,y为向量，则有平行四边形关系 23、A∈Cn*n，并且为Hermite正定阵，则为范数 正性和齐次性好证明，只证三角不等式 所以 24、 , , 25、 26、A为Hermite阵，则 27、A为Hermite阵， 28、A∈Cn*n，则的充要条件为A=I 因为所以A=I 同理如果，并且B可逆，则B=I 29、证明：1）A为实斜对称阵，则eA为正交阵 （A=-AT） 2）A为Hermite阵，则eiA为酉阵 (AH=A) 证明：1） 2） 30、A∈Cn*n，║A║2＜1，证明║Ln(I+A)║2≤║A║2/(1-║A║2) 因为： 收敛半径r=1, ρ(A)≤║A║2＜1，所以Ln(I+A)收敛， 31、 32、xn+1=φ(xn)的迭代收敛条件， 1）映内性xn∈[a,b]，φ(xn) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ’∣≤L＜1 停机判据，收敛速度 33、Newton迭代法，单根为二阶收敛 34、Newton迭代法，重根变线性收敛，如果知道重数m， 仍二阶收敛 35、Newton迭代法中， 下山因子λ＜ε，则无法下山，要另选初始点 36、弦割法 的收敛阶为1.618 37、分半法的收敛速度为（b-a）/2n-1 38、Aitken 加速公式 39、Jacobi、Gauss-Seidel和超松弛(SOR)法的分量形式和矩阵形式 （J） (G-S) ，