系统工程理论与方法_系统建模.pptx

系统建模系统模型化概述 一、模型的定义 模型是对实体的特征及其变化规律的一种表征或者抽象。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 二、模型的分类数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则。1/81/41/21/4121/43/101/161/101/453/81/161/24/102/10341/163/41/31/6居民流动权重有向图图示模型例1 马尔科夫模型——人口转移模型 转移概率矩阵条件概率：pij=p(j|i)，在给定起始状态i的条件下，下一步出现j状态的概率。镇1 --镇12 --3 --镇1 --2 --镇24 --镇55 --镇1 --3 --镇34 --5 --镇2 --镇43 --4 --第1年第2年第3年第4年第n年 马尔可夫模型可用于计算事件的未来状态。 设最初人口分布比例向量为[1/8 1/8 1/8 1/8 1/2]，则可算出1年、2年后的人口分布比例向量。 用当前状态行向量×Pn，得到n年后的人口分布状态。 马尔可夫过程 一类时间、状态均为离散的随机动态过程。? 系统在每个时期所处的状态是随机的? 从一时期到下时期的状态按一定概率转移? 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 马尔可夫性质：马尔可夫链是随机变量X1, X2, X3, …的一个数列。如果Xn+1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 P(Xn+1=x∣X0,X1,X2,…，Xn)=P(Xn+1=x∣Xn)晴天 阴天 下雨晴天0.50 0.25 0.25阴天0.375 0.25 0.375下雨0 0 1 第四天天气概率分布 如果Mn趋向于定值, 马氏链具有稳定状态例2 马尔可夫模型——人的健康状态转变（正则链）稳态概率稳态概率例3 马尔可夫模型——人的健康状态转变（吸收链）健康和疾病状态同例2，Xn=1~健康，Xn=2~疾病，Xn=3~死亡状态与状态转移设投保时处于健康状态，预测a(n), n=1,2…吸收链——存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态。 正则链与吸收链是马尔科夫链的两个重要类型。 必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。由于实际事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。 马尔科夫模型的应用：1. 市场占有率的预测2. 等级结构的控制3. 解释基因类型的演变例4 莱氏(Leslie)人口模型四个假设莱氏矩阵 M 一般形式： k = 0,1,2,… 2030454060608080120（a）（b）（c）动物种群直方图练习 预测生物种群数设Δ年后，F2全部死亡，F0和F1分别有1/4死亡，生育率m0=0, m1=1, m2=2。设某一时刻年龄段F0、F1、F2的数量分别为80、40、20，试求Δ年、2 Δ年后该生物种群按年龄分布的向量。 莱氏矩阵M= F(Δ)= F(2Δ)=F2F1F0§4-2 常用建模方法 图解法例5 市场经济中的蛛网模型现 象图解法 建立一个简化的数学模型描述这种现象。 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定。 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定。问 题图解法SDECMABO需求曲线D与供应曲线S（稳定情况）价格pp2供给关系：S曲线，增函数需求关系：D曲线，减函数 M：平衡点(q0, p0)p1q2q3q1商品量qq1-p1-q2-p2-…, qk-q0, pk-p0，A-B-C-…-M，稳定图解法(1)收敛型蛛网： 需求曲线的斜率绝对值kD 供给曲线的斜率绝对值kS（2）发散型蛛网：需求曲线斜率绝对值 供给曲线的斜率绝对值(3)封闭型蛛网：需求曲线斜率绝对值 =供给曲线的斜率绝对值DDSSt 1t 1t3P2t 1P2t3P2P3P1P1t2t2P1DP3Dt2SSQ1Q2Q2Q1Q3Q2Q3Q1PP0t图解法结果解释α——商品数量减少1单位,价格上涨增量，即kDβ——价格上涨1单位,(下时段)供应的增量，即1/kSα ~消费者对需求的敏感程度，α小, 有利于经济稳定β ~生产者对价格的敏感程度，β小, 有利于经济稳定kD kS α β 1 经济稳定 蛛网理论:考察价格波动对下一周期生产的影响，及由此产生的供求均衡变动情况，反映了市场价格与产量周期性波动规律。这种用需求曲线和供给曲线分析市场经济稳定性的