行星的运动5.doc

行星运动、万有引力定律·典型例题精析 ? [例题1]　 如图6－1所示，在与一质量为M，半径为R，密度均匀的球体距离为R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1．当从球M中挖去一个半径为R/2的小球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，则F1与F2的比是多少？ [思路点拨]　 F1为一个匀质实心球对质点的万有引力，可用万有引力定律的公式直接求得，其中r为匀质球球心到质点的距离．F2是一个不规则物体对质点的万有引力，但由于挖去部分为一匀质实心球，所以可先计算挖去部分对质点的万有引力，然后根据力的叠加原理用F1减去挖去部分的万有引力即可得F2． 实球M的引力F1可看成两个力的叠加：剩下的部分对m的引力F2与半径为R/2的小球对m的引力F′2的和，即F1＝F2＋F′2． 因为半径R/2的小球体的质量 [小结]　 万有引力定律的表达式适用于计算两质点之间的引力，若两物体不能看成质点时，应把物体进行分割，使每一小块的线度都小于两者间的距离，然后用叠加的方法求出引力的合力．需要说明的是对于两个均匀的球体来说，不管它们相距远近，万有引力定律的表达式都适用，表达式中的r是指两个球心间的距离． 的．这是因为对形状不规则物体当物体间距离较近时不可视为质点． [例题2] 　月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8．如果分别在地球上和月球上都用同一初速度竖直向上抛出一个物体(阻力不计)，求： (1)两者上升高度的比； (2)两者从抛出到落地时间的比． [思路点拨] 　由于地球和月球的质量和半径的不同，而造成地球和月球表面的重力加速度的不同．因此应首先算出月球表面上的重力加速度，然后再根据运动学的公式计算． [解题过程]　 设质量为m的物体在月球上的重力加速度为g′，则有 物体在地球上的重力加速度为g，则有 (1)÷(2)得 设在地球上上抛的高度为h，在月球上上抛的高度为h′．根据运动学公式可得 设在地球上抛出到落地需要的时间为t，在月球上所需的时间为 t′．根据运动学公式可得 [小结] 由于万有引力的作用，星球表面上的物体都要受到星球对物体的引力，当物体随星球转动所需要的向心力比万有引力小得多的时候， 球半径的平方成反比 天体运动中的追及相遇问题 ，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。 ? 　　1．追及问题 ? 　　例1　如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？ ? 　　分析与解答：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T1T2。可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A、B在同侧，从角度看，在相同时间内，A比B多转了2π；如果A、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A比B多转了π。所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t2，由。如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？ ? 　　2．相遇问题 ? 　　例2　设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后在D点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q处掠过地球上空，如图2所示（图中“S”表示太阳）。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。 ? ? 　　分析与解答：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度。设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则 ? 　　地球的公转半径为?? ? 　　所以 地球与太阳之间的万有引力大小为? ? 　　例3　阅读下列信息，并结合该信息解题： ? 　　（1）开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于其他中心天体的卫星运动。 ? ? 　　（2）从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径Rm为地球轨道半径Re的1．500倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星；第二步是在适当时刻点