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有限元分析基础教程 曾攀 第 7 章 结构振动的有限元分析 7.1 结构振动分析的基本原理 结构的振动分析将涉及到模态分析(modal analysis)、瞬态动力学分析(transient dynamics analysis)、简谐响应分析(harmonic response analysis)、随机谱分析(spectrum analysis)等方面， 其中结构的模态分析(固有频率与振型)将是所有振动分析的基础，下面将就结构的模态分析 进行阐述。 7.1.1 结构振动分析的基本方程 描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与前面的静力问题类似，但增加了惯性力项 和阻尼力项，且所有的变量都将随时间而变化。若希望了解详细内容，请查阅参考文献[ ]。 【基本变量】7.1.1(1) 结构振动的三大类变量 2D 情况下的三大类变量：位移u(ξ,t)，v(ξ,t) ，应变ε (ξ, t),ε (ξ, t),γ (ξ, t) ，应力 x y xy σ (ξ, t),σ (ξ, t),τ (ξ, t) 是坐标位置ξ(x, y ,z ) 和时间 t 的函数。 x y xy 图7-1 微体 dxdydz 在动力学状态下的平衡 【基本方程】7.1.1(2) 结构振动的三大类方程及边界/初始条件 平衡方程(考虑惯性力和阻尼力) 微小体元 dxdy dz 在动力学状态下的平衡关系如图 7-1 所示，利用达朗伯原理 （D’Alembert principle ）将惯性力(inertial force)等效到静力平衡方程中，再考虑阻尼力 (damping force)的作用，下面考虑2D 情况，有 ∂σ (t) ∂τ (t) ⎫ x xy + +b (t) −ρu(t) −νu(t) 0 x ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎬ (7-1) ∂τ (t) ∂σ (t) xy y ⎪ + +b (t) −ρv(t) −νv(t) 0 y ⎪ ∂x ∂y ⎭ 其中ρ为密度，ν为阻尼系数，b (t),b (t ) 分别为沿x 方向以及y 方向所作用的体积力， x y u(t), u(t) 分别表示位移u(t) 对时间 t 的二阶导数和一阶导数，即表示沿x 方向的加速度 和速度，沿 y 方向也是类似。 几何方程 237 有限元分析基础教程 曾攀 ∂u(t)