第二章数与坐标系.doc

第二章 數與坐標系 §2(1 整數(甲)自然數與整數的引入 (1)自然數(N)：人類基於計數、排序最先發展出來的數系。(2)自然數系中加法、乘法的運算 a,b,c(N a+b(N，ab(N (封閉性) a+b=b+a，ab=b(a (交換律) a+(b+c)=(a+b)+c，(ab)c=a(bc) (結合律) (a+b)(c=ac+bc (分配律)自然數的缺陷：自然數對於加法、乘法具有封閉性，但是兩個自然數相減並不一定是自然數，為了彌補這個缺憾，於是有了整數的誕生。自然數系誕生後，為了彌補上述缺憾，整數系先是繼承了自然數對於加法、乘法的所有資產(運算性質)，接著反方向開拓了「零」和「負整數」，形成了一條「雙向開放」的整數大道。(3)整數的基本性質： 若a,b,c都是任意整數，則 (a)a+b，a(b，a(b都是整數(封閉性)，a(b不一定是整數。 (b)a+b=b+a，a(b=b(a  (c)a+(b+c)=(a+b)+c，(ab)c=a(bc) (d)(a+b)(c=a(c+b c (e)a+c=b+c ( a=b (加法消去律) (f)a(c=b(c (c(0) ( a=b (乘法消去律) (g)a+0=0+a=a，a(0=0(a=0，a(1=1(a=a(4)除法原理： 若a,b為整數，則存在唯一的一組整數q,r，使得a=bq+r，且0(r|b|。 我們稱a為被除數，b為除數，q為商數，r為餘數。例如：23(5=？…….？ 23=5(4+3 (13(5=？…….？ (13=5(((3)+2(5)整數的大小：整數的大小(次序)關係具有下列性質：若a,b,c都是任意整數(a)三一律：a b，ab，a=b三式恆有一式成立。(b)遞移律：若ab且bc，則ac。(c)加法律：ab ( a+cb+c(d)乘法律：c0且ab ( acbc ， c0且ab ( acbc (乙)因數、倍數與質數 (1)整數的除法： 若a,b為整數，則存在唯一的一組整數q,r使得a=bq+r，且0(r|b|。說明：17=5(1+12 17=5(2+7 17=5(3+2 17=5(4+((3) 對於17與5我們可以找到許多組整數q，r 但如果要求0(r|b|，這樣的q，r就只有一組了。 即a=bq+r 且0(r|b| ←(這個條件非常重要) 17=53+2 0(25其它例子：13=5(2+3，(9=5(((2)+1，(7=(3(3+2  當r=0時a=bq，此時我們稱b是a的因數或a是b的倍數或a可被b整除。  符號記為：b|a。(2)整除的性質：(a)a|a (反身性) (b)a|b且b|c ( a|c (c)a|b且a|c ( a|mb+nc，m,n為整數。 Pf： 注意！設a是異於0的整數，則下列命題是否成立？(3)因數與倍數：(a)設a,b為整數且b|a，我們稱b是a的因數或a是b的倍數。(b)質數：若p是大於1的正整數，且p只有1與p本身兩個正因數， 則稱p為質數。注意：(a)質數中只有2為偶數。 (b)質數有無限多個。 (c)任一質數p的正因數都是_____個，即_________。 (d)pk的正因數個數有_________個，即______________________。(c)質因數：若b|a且b為質數，則稱b為a的質因數。 例如：12的正因數有1,2,3,4,6,12，其中2,3為12的質因數。(d)倍數的判別： 2的倍數：末位數字0,2,4,6,8 5的倍數：末位數字為0或5 3的倍數：各位數字和為3的倍數 9的倍數：各位數字和為9的倍數 4的倍數：末二位數為4的倍數 8的倍數：末三位數為8的倍數 11的倍數：奇位數字和與偶位數字和的差為11的倍數。(e)質數的檢驗(篩法)：(設a,b,c為正整數，且a=b( c，b1,c1， 求證：b,c中至少有一個小於或等於。[證明]：假設b,c均大於 (a=bc(=a 矛盾！(設a(N，a1，若a不為質數，試證：a必有小於或等於的質因數。[證明]：a不為質數，(可令a=bc，其中b,c為大於1的正整數根據前面的證明(b,c之中至少有一個小於或