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5-连通图中的基本边的开题报告

1.题目简介

5-连通图基本边的定义是在一个5-连通图中，若除去某条边后，整个图不再是5-连通图，则该边即为该图的基本边。本题的任务是给出一个5-连通图，找到该图的所有基本边。

2.算法思路

2.1算法概述

基本边的定义表明，一条边如果是一个5-连通图的基本边，那么它是必不可少的。因此，我们可以尝试用深度优先搜索（DFS）遍历图来查找基本边。搜索过程中，我们需要记录每个节点所在的层数（Level）以及每个节点能够回溯到的最浅的Level。同时，我们还需要记录下每个节点的孩子节点个数，因为子图个数等于孩子节点数加1。

2.2深度优先搜索算法

深度优先搜索是一种遍历型算法，用于递归地进行深度遍历。该算法主要涉及到以下两个部分：

（1）将起始节点加入栈中；

（2）不断从栈顶取出节点，检查其孩子节点是否被访问过，若未被访问，则将其加入栈中，并更新孩子节点的Level和LowestLevel。

2.3核心代码实现

本算法主要思路为深度优先遍历，递归实现。

```python

defdfs(u,p):

globalidx,cut

idx+=1

lowv[u]=dfn[u]=idx

cnt=0#子节点个数

forvinG[u]:

ifnotdfn[v]:

cnt+=1

dfs(v,u)

lowv[u]=min(lowv[u],lowv[v])

if(u==pandcnt1)or(u!=pandlowv[v]=dfn[u]):

cut.add(u)

elifv!=p:

lowv[u]=min(lowv[u],dfn[v])

```

其中，idx、dfn、lowv分别代表搜索过程中生成序列的层数、每个节点被搜索的序号、每个节点能够回溯到的最浅的Level。G[u]表示与节点u相邻的节点。

3.算法优化

3.1算法时间复杂度

本算法的时间复杂度为O（V+E），其中V为节点数，E为边数。由于本题的图是5-连通图，我们可以认为该图的边数很大，而节点数相对较小。因此，可以得出结论，此算法的时间复杂度较低。

3.2空间复杂度优化

为确保程序的准确性，必须开辟大量的内存空间。因此，在程序上线前，需要对程序进行资源优化，尽量减少内存使用量。

4.结论

本算法基于深度优先搜索（DFS）算法实现，可以在较短的时间范围内找到5-连通图的所有基本边。在本次算法中，我们使用Python语言进行编写，时间复杂度为O（V+E），相对较低，但是空间复杂度较高。算法的核心在于遍历整张图，并判断每一条边的类型。