南航2013年全国高数竞赛模拟测试2.pdf

南 京 航 空 航 天 大 学 第1页 （共4页） 第五届全国大学生数学竞赛模拟测试二 考试时间：120分钟 学院 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一．计算题（每题6分，共30分） 1、已知函数f (x ) 在x 0 的某个邻域内有连续导数，且lim( sin x + f (x )) 2 ，求f (0) 及 2 x →0 x x f ′(0) . 2 2 2 2 ∂z ∂z 2、设z z (x, y ) 由方程x +y +z xyf (z ) 确定，f 可微，计算x +y （化成最简形式）. ∂x ∂y π dx 3、求 2 . ∫0 1+tan1993 x 4、设函数u f (r) 当0 r +∞时连续二阶可导，且f (1) 0, f ′(1) 1, 又u f ( x2 =+y2 +z2 ) 满 2 2 2 足方程 ∂ u ∂ u ∂ u 求f (r) 的表达式. + + 0, 2 2 2 x y z ∂ ∂ ∂ 第 2 页（共4 页） 5、计算曲线积分 I ∫C (ex sin y =−2(x +y))dx +(ex cos y −x)dy ，其中 C 为曲线 y 2x =−x 2 上从A (2,0) 到O(0,0) 的一段弧. 二、证明题（每题10分，共20分） 1、设数列 x 为：x 3, x 3 − 3, x 3 =− 3 +x , n 1, 2, , n ，求证 { } ( ) n 1 2 n+2 n 数列 x 收敛，并求极限. { } n