⑦竞赛中的二次曲线问题.doc

Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的二次曲线问题 高中联赛中的二次曲线问题具有知识性、方法性和综合性,着重于对“数形结合”的考察,掌握用“数”研究“形”,并且充分挖掘蕴含的几何本质,利用“形”助“数”,减少计算量,妙解几何题. 1.第一定义 [例1]:(1990年全国高中数学联赛试题)设双曲线的左右焦点是F1,F2,左右顶点是M,N,若△PF1F2的顶点P在双曲线上,则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( ) (A)在线段MN内部 (B)在线段F1M内部或线段NF2内部 (C)点M或点N (D)不能确定的 [解析]: [类题]: 1.①(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知定点A(4,).若动点P在抛物线y2=4x上,且点P在y轴上的射影为点M,则|PA|-|PM|的最大值是 . ②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角θ≥,l交抛物线于A,B两点,且A点在x轴上方,则|FA|的取值范围是(高二)试题)已知+=20,则|3x–4y–100|的最大值为 ,最小值为 . 3.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知点A(4,0),B(2,2),M是椭圆=1上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为 . ②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知A(4,0),B(2,2)是椭圆+=1内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最值是 最大值是 =1的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两圆一定( ) (A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)相离 5.(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从双曲线=1(a0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T.延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( ) (A)|MO|-|MT|b-a (B)|MO|-|MT|b-a (C)|MO|-|MT|=b-a (D)不确定 6.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆+y2＝＝∠F1PF2= . 2.第二定义 [例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定A((2,2),已知B是椭圆=1上的动点,F是左焦点,当|AB|+|BF|取最小值时,求B的坐标. [解析]: [类题]: 1.①(1997年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围为( ) (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 2 Y.P.M数学竞赛讲座 ②(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆锥曲线x2+y2+6x?2y+10?|x?y+3|=0的离心率是 . 2.(1999年全国高中数学联赛试题)已知点P在双曲线=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P的横坐标是_____. 3.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)定长为m的线段AB的两个端点在双曲线=1的右支上移动(m),那么,AB中点M的横坐标的最小值为 (用a、b、m表示). 4.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2是双曲线x2-3y2=3的左、右焦点,A,B两点在右支上,且与F2在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 y2=16x的焦点为F,以F与A(4,4)为焦点作一椭圆,使其与已知抛物线有 公共点,当长轴最短时,椭圆的方程是__________. 3.离心率 [例3]:(2000年全国高中数学联赛试题)在椭圆=1(ab0)中,记左