L9-晶格振动2.ppt

* §3.2 一维双原子链的振动 一、运动方程及其解 运动方程： { 试 解： { (设M m) 考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链 只考虑近邻原子间的弹性相互作用 a M m { ?n ?n ?n-1 ?n+1 { 代入方程: 久期方程： 简约区： 对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足： 为倒格矢 两个色散关系即有两支格波：（?＋：光学波； ?－：声学波） 二、声学波和光学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比 R?:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比 ??: 两原子的振动位相差 1. 声学波（acoustic branch） 即： ?－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型 物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。 q?0时 当q?0时， 原胞内两种原子的振动位相完全相同。 这与连续介质的弹性波 ?＝vq 一致。 当q?0时 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称为声学波或声学支。 2. 光学波（optical branch） ?＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型。 物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。 当q?0时，?＋??，原胞中两种原子振动位相完全相反。 离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。 对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。 光波： ?＝c0q， c0为光速 ?=c0q 0 q ?(q) ?+(0) ?+ 对于实际晶体， ?＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在? ? ?＋(0)附近的强烈吸收。 光学波原子振动模型 声学波原子振动模型 带隙 三、周期性边界条件 周期性边界条件： h =整数， N：晶体链的原胞数 q的分布密度： { 简约区中q的取值总数 ＝晶体的原胞数 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数 推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系 式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波。  晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度数。 §3.5 三维晶格振动 一、三维简单晶格的振动 0 l Rl Rl’ Rl –Rl’ Rl-l’ l-l’ l’ 第?个原子的位矢: 回顾-简谐近似 忽略高阶项，保留至二阶项 上式称为简谐近似。 在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）： ??(l)和??(l’) 是第l和第l’个原子分别沿?和?方向的位移。 力常数 第l个原子的运动方程： 这里考虑了晶体中所有原子的相互作用。 由晶格的周期性，得 设格波解： 代入运动方程得： ?，?＝1，2，3 其中 久期方程 可以解得?与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。 推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由 运动方程可以解得3s个?与q的关系式（即色散 关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波 （一支纵波，两支横波），3(s－1)支为光学波。 二、布里渊区 上式对于任意时刻t和任意的格矢 都成立，有： 对于第j支格波，设有两个波矢 和 所描述的晶格振动状态完全相同，有 由于 为倒格矢，h为整数 有 ，（由于 为任意格矢） 即： 在 空间中， 是以倒格矢 为周期的周期函数，仍可将波矢 限制在简约区或第一布里渊区中 将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系： —— 布里渊区边界面方程 0