2010年全国初中数学竞赛.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.） ，则的值为 ）． （A） （B） （C） （D） 解：由题设得 2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ C ）． （B）a≥4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4 解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 ≥0, 解得a≤或 a≥4． 3．四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD的长为（ ）．（A） （B） （C） （D）．在……中，，当k2时，表示实数的整数，例如，，则等于（ ）．A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：由和可得 ，，，，，，，，因为2010=4×502+2，=2．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的顶点分别为A1，1，B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，，重复操作依次得到点P1，P2，， 点P2010的坐标（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 等于 ． (a＋1)2＝5，a2＋2a＝4，2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12 ＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向行驶．在某一时刻客车在前小轿车在后货车在客车小轿车的正中．10分钟小轿车追上了货车又过了5分钟小轿车追上了客车再过分钟，货车追上了客车．8．如图，在平面直角坐标系中多边形．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，则的函数表达式是． 解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线即为所求的直线． 设直线的函数表达式为，则 解得 故所求直线的函数表达式为． 9．射线AM，BN都垂直于线段AB，E为AM上一点，．CD＝CF，则 ． ．10．对于，正整数除以的余数为．若的最小值满足，则的最小值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） （a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）. （1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标. 解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为. 设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，. 于是，直线AB与y轴的交点坐标为， 故， 整理得 ， 解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）． 因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得 …………（10分） （2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以. 设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）. 因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=. （i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）. 延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点. （ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点． 所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分） 12．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ． 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径， 所以 ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则 ， 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作A