Gauss-Seidel 迭代法线性方程组求解.doc
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１、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 （参考书籍《精
通ＭＡＬＡＢ科学计算》 ，王正林等著，电子工业出版社，２００９
年）
“Gauss-Seidel 迭代法线性方程组求解”
（1）迭代解法的基本思想：
根据给定方程组，设计出一个迭代公式，构造一数组的序列xi0,代入迭代公式，计算出xi1,在代入迭代公式，经过k次迭代运算后得到xik,若xik收敛于某一极限数组xi，则xi就是方程组的近似解。
迭代过程本质上就是计算极限的过程，一般不能得到精确解。但迭代的优点是程序简单，适合大型方程组求解，然而，缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。
(2)算法说明：
Gauss-Seidel迭代法与简单迭代法类似，只是迭代公式有所改进。
简单迭代法：；
Gauss-Seidel迭代法：；
设方程组Ax＝b，其中A和b中的元素都为常数，且A为非奇异，则A分可写成：A=D-L-U。
其中D上网意义同Jacobi迭代法，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，他的迭代公式为：
在MATLAB中编程实现的Gauss-Seidel迭代法函数为：gauseidel。
功能：用Gauss-Seidel迭代求线性方程组ax=b的解。
调用格式：[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M).
其中，A为线性方程组的系数矩阵；
b为线性方程组中的常数向量；
x0为迭代初始向量；
eps为解的精度控制（此参数可选）；
M为迭代步数控制（此参数可选）；
x为线性方程组的解；
n为求出所需精度的解实际迭代步数。
(3)Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序代码如下:
function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M)
%采用Gauss-Seidel迭代法求线性方程组Ax=b的解
%线性方程组的系数矩阵：A
%线性方程组的常数向量：b
%迭代初始向量：x0
%解的精度控制：eps
%迭代步数控制：M
%线性方程组的解：x
%求出所需精度的解实际的迭代步数：n
if nargin ==3
eps=1.0e-6; %eps表示迭代精度
M=200; %M表示迭代步数的限制值
elseif nargin ==4
M=200;
elseif nargin 3
error
return;
end
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
G=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
x=G*x0+f;
n=1;
%迭代过程
while norm(x-x0)eps
x0=x;
x=G*x0+f;
n=n+1; %n为最终求出解时的迭代步数
if n=M
disp(Warning:迭代次数太多，可能不收敛！);
end
end
(4)进行实例分析：
A=[1.4449 0.7948 0.8801;0.6946 1.9568 0.1730;0.6213 0.5226 1.9797];
b=[1 0 1];
x0=zeros(3,1);
[x,n]=gauseidel(A,b,x0)
x = %输出结果
0.5929
-0.2444
0.3836
n = 11 %输出迭代次数n
(5)运行图以即流程图：
①运行图：
②流程图：
②例题流程图：
一、分析电路：（RC充电电路）
当t0时，开关K位于“1”，电路以达到平衡Uc（0+）=Uc（0-）=-12V， iR2（0-）=3A；
当t0时，ic（0+）=-Uc（0+）/(R2*R3/（R2+R3）)，达到稳态后，电容中将无电流icf=0A，电流源的全部电流将在两个电阻之间分配，保证端电压相同(也就是电容上的终电压)。即：UR3= Ucf=12V。
由一阶响应电路可用三要素法得到电压公式：，时间常数。 ，且Req=12*6/18=4，=4(s)。同时，以相同的方法得到电流公式：，=4(s)。
可以得到电阻R2的表达式：。
二、源程序设计：
r1=3;
r2=12;
r3=6;
us=18;
is=3;
c=1;
uc0=-12; %电容C的初始电压值
ucf=12; %电容C的最终稳态电压值
icf=0; %电容C的最终稳态电电流值
T=r2*r3/(r2+r3); %电路时间常数
t=[0:0.0
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