小专题(十) 证明切线的两种常用方法.doc

小专题(十)　证明切线的两种常用方法 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　直线与圆有交点 方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等． 【例1】　如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切． 1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD. (1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长． 2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长． 类型2　不确定直线与圆是否有公共点 方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【例2】　如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切． 4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切． 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3. (1)求证：AC是⊙D的切线； (2)求线段AC的长． 参考答案 【例1】　证明：法一：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠B.∴∠BDO＝∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切． 法二：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD＋∠ADM＝90°.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.∴∠ODA＋∠ADM＝90°.即OD⊥DM，∴DM是⊙O的切线． 1.(1)连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBC.∵OA⊥OD，∴∠AOC＝90°.∴∠OAC＋∠OCA＝90°.∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC.∵∠DCB＝∠ACO，∴∠ACO＝∠DBC.∴∠DBC＋∠OBC＝90°.∴∠OBD＝90°.∵点B是半径OB的外端，∴BD与⊙O相切． (2)设BD＝x，则CD＝x，OD＝x＋1，OB＝OA＝3，由勾股定理得：32＋x2＝(x＋1)2.解得x＝4.∴BD＝4.　 2.(1)连接BD，则∠DBE＝90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝eq \f(1,2)AD＝1.∴AD＝2. (2)BC是⊙O的切线，理由如下：连接OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD.∴四边形BCDO是平行四边形．又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．　 3.(1)连接OA，OD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝eq \r(52＋22)＝eq \r(29).　 【例2】　法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线． 法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．　 4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于