北京科技大学2012年硕士学位研究生入学考试试题.PDF

北 京 科 技 大 学 2012 年硕士学位研究生入学考试试题 ============================================================================================================= 试题编号：：： 613 试题名称：：： 数学分析 （（（共（共共共2 页页页）页））） 适用专业：：： 数学，，，统计学，统计学 说明：：： 所有答案必须写在答题纸上，，，做在试题或草稿纸上无效，做在试题或草稿纸上无效。。。 ============================================================================================================= 1 1．（20 分分分）（分）（1）））求极限）求极限 limn (n+ 1)( n + 2)L (2 n ) 。。。 n→∞ n π （（（2）））证明积分）证明积分 2 ln(sinx ) dx 收敛且求其值。。。 ∫0 ∞ 2．（20 分分分）（分）（1）））证明）证明：：：对于：对于 λ 0 ，，，级数，级数 (? )1 n tan ?? n 2 + λ π ?? 都收敛。。。 ∑ ? ? n=1 x x （（（2）））设）设设设 f( x ) 连续，，，求极限，求极限 lim∫ f ( t ) dt 。。。 x→ a x? a a ? 1 ?(x? a )m sin , x ≠ a 3．（15 分分分）分）））已知给定函数已知给定函数 f( x ) = ? x? a ( m 为正整数), 试试试 ??0, x= a 讨论 f( x ) 在在在 x= a 的连续性与可导性以及导函数 f′( x ) 在在在 x= a 的连续性。。。 x 4．（15 分分分）分）））设函数设函数 f( x ) 在在在[0,b ] 上连续，，，且，且且且 ∫ f( t ) dt≥ bf ( x ) ≥ 0, ? x ∈ [0, b ] ，，，证，证证证 0 明明明：明：：： f( x )≡ 0 。。。 ( ) [ ] ∈[ ] ξ ∈[ ] 5．（（（15 分分分）分）））设设设设 f x 在在在 a, b 连续，，， x1, x 2 ,L , xn a , b 。。。证明。证明：：：存在：存在 a, b ，，， n (ξ ) = 1 使使使 f∑ f( x i ) 。。。 n i=1 ?x2+ y 2 ?2 z 2 = 0 6．．．（．（（（15 分分分）分）