第三章 模型初步识别与参数矩估计1.doc

第三章 模型的初步识别与参数的矩估计 前言：第二章，我们讨论了序列的自相关与偏相关函数的性质，及其与模型参数之间的关系，在第二章§1又曾指出实际中的大量随机序列，并不能用直接方法（或称物理方法）建立它们的模型，从物理意义上看甚至于它们本身并不是线性模型. 这时，所谓根据它们的样本数据建立线性模型，不如说是寻找一种与它们尽可能“等价”的序列，作为实际序列的近似模型. 原因在于①由于序列的谱密度是有理谱密度，它们能逼近任何连续谱密度；②由于在实际应用中，这类模型有很多方便之处. 下面三章内容都是围绕这样问题展开的：若是某一未知其模型的序列，现在获得了它的一段样本数据，如何根据这个数值对的模型做出估计，或者说得更具体些，对模型的阶数和参数与做出判断与估计. 模型识别：一般，我们把对的判断称为模型识别，也就是初步确定序列模型的形状；在被判定后，估计相应的和，称为参数估计. 解决这些问题的方法属于时间序列的内容. 一旦做出了序列模型的识别和估计，序列的自相关、偏相关函数及谱密度的估计就可以由这个模型算出. 另外，序列经过某种处理（如差分或“季节型”差分VI章）后，可看作序列，同样用上述手法，并以估计所得的模型作为真实序列的近似描述. 解决上述识别与估计问题，主要依据第二章理论分析结果. 本章将介绍一种初步识别方法和参数的矩估计，它们简单易懂，但是其精度稍差. 为提高精度，可用第四章方法求参数的精估计，再由V章，检验和改进初步识别的结果，但其程序较繁且计算量也大得多. §1 样本自相关与样本偏相关函数 假定得到了数据，它们是随机序列的一段样本值，称为样本长度，为要根据这段样本数据估计的模型，先要设法消去的均值项，至于去均值方法，今后讨论（P79~82，§4 P98~102）暂时假定. 这时定义的样本自协方差与样本自相关函数分别为： （I） （II） 有时，也采用如下定义： （III） （IV） 易知. 因此，与是渐近相等的. 但是是非负定列，则不一定如此. （为证明此，对于或暂记，于是对任意个实数， （或时） 这就证明了序列的非负定性. ） 反例的不为正定性. 设是长度为的样本例，经计算得 若取，则 若取，则 不为正定列. 另证为（正定）非负定列且为正定序列. 若令 它是一个阶矩阵，为任一给定正整数，则显然样本自协方差阵可以表示成： 其中第行第列为 设是任一非零向量，则由样本值不全为，易证的个分量中，至少有一个不为，于是 为正定列. Theorem：设为正态序列，即为方程的正态平稳解，令. 则对固定的正整数，当时，随机变量联合分布为渐近正态，其中，为阶方阵，其行列元素为，是（2.4）（P273）中的主项. 推论1 设为正态平稳白噪声序列，则随机向量 的极限分布为，其中. 表阶单位阵. 推论2 设为正态序列，为其自相关函数，为其样本自相关函数，，则联合分布渐近于维正态分布，其中， 即为（P280）中的主项. 特别为正态白噪声序列，. Theorem：设为正态序列，则 （2.4） 推论3 在Th条件下，对非零整数有： （2.14） 称上式为Bartlett公式. Theorem：正态序列参数的Yule-Walker估计，当样本长度时有性质即：当时 其中，是阶方阵，其行列元为，，为Toeplitz阵，. Theorem：在上述条件下，则当时 Theorem：在上述条件下的Yule-Walker估计为，则分布渐近正态. . 若是序列（注意若不加特别说明，恒假定随机序列是正态的），那么和作为和的估计量，具有以下性质： 1．它们是相容估计和渐近无偏估计，即 （I） （II） （I）式中表示依概率相等. 2．它们具有渐近正态性，即存在两个趋于的数列，分别使得： 3．它们的误差方差分别渐近为 （III） （IV） （IV）式称为Bartlett公式，这些公式的证明可见安鸿志书附录§2，特别由（III）式知，当为白噪声时， （V） 当为序列时， （VI） （时）