南开大学2014年硕士研究生入学考试试题.PDF

南开大学 2014 年硕士研究生入学考试试题 学 院：011 陈省身数学研究所、012 数学科学学院 考试科目：701 数学分析 专 业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、 应用数学、★生物信息学 一. lim （ n n ? 1） sin n ln n n→∞ sin x ?xy 二．f x，y = e x , ?? ≠ 0 证明在二维平面连续。 1, ?? = 0 z x2 y2 三．已知 0＜a＜b，c＞0.求点（0,0，c）到曲面 = + 的 c a2 b2 最短距离。 四．Ⅰ x dy dz +y dz dx +z dx dy 其中 是 2 2 2 的 = S 3 . s x = y + z （ax2 +by2 +cz2）2 外侧。 (?1)n 五． 求级数 ∞ 的值。 n=0 3n +2 sin nx 六．（1） f(x)= ∞ .在（0，+???）非一致收敛。 n=0 nx （2） 证明上式在（0，+∞）上连续。 七．f(x)在（0，+∞）连续可导 （1） lim f x = 1， lim f ′′ x = 0. 证明 lim f ′ x = 0 x→+∞ x→+∞ x→+∞ (2)构造一个函数使 ′ limx→+∞ f x = 1，但 limx→+∞ f x 不存在 ∞ n ∞ 八． n=0 x 收敛，证明存在θn = ?1,1 n=1,2…，使 n=0 θn xn 收敛。 n 1 九．limn→∞ n=1 k（n?k+1）