2005IMO中国国家队选拔（第二十届）.pdf

《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express IMO中国国家队选拔考试 2005第 20届 2005年3月31日 8∶20～12∶50辽宁沈阳东北育才学校每题21分 一、（冷岗松供题）设⊙O 的内接凸四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为P，过P、B两点的⊙O 与 1 过P、A两点的⊙O 相交于两点P和Q，且⊙ O ，⊙O 分别与⊙O 相交于另一点E，F。 2 1 2 求证：直线PQ，CE，DF或者共点或者互相平行。 二、（王建伟供题）给定正整数n （n ≥2），求最大的λ使得：若有n 个袋子，每一个袋子中都是一些 重量为2的整数次幂克的小球，且各个袋子中的小球的总重量都相等，则必有某一重量的小球的总个数 至少为λ （同一个袋子中可以有相等重量的小球）。 三、（朱华伟供题）n 是正整数，a 为复数（j ＝1，2，……，n ）， j 1 n 且对集合{1, 2,,n}的任一非空子集I，均有 ∏(1+aj )−1 ≤ 2 。证明：∑aj ≤3。 j I j 1 ∈ 2005年4月1日8∶20～12∶50辽宁沈阳东北育才学校每题21分 四、（熊 斌供题）设a ，a ，……，a ；b ，b ，……，b 和c ，c ，c 都是1,2，……，6的排列， 1 2 6 1 2 6 1 2 6 6 求∑a b c 的最小值。 i i i i 1 五、（余红兵供题）设n 是任意给定的正整数，x 是正实数。 n ⎛ k k ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x x 证明： − +1 ≤n ，其中 a 表示不超过实数a 的最大整数。 ∑⎜ ⎢ ⎥ ( )⎢ ⎥⎟ [ ] x x +1 k 1 ⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠ * 六、（陈永高供题）设a 是给定的正实数，求所有的函数f : N →R ，使得对任意满足条件 am k k m ≤ ＜ a +1 m 的正整数 ， ，都有f k +m ＝f k ＋f m 。 ( ) ( ) ( )