2019年全国卷3理数答案.doc

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学· 参考答案 一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题 13． 2 3 14．4 15．(3, 15) 16．118.8 三、解答题 17．解：（1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10． （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3 ×0.20+4 ×0.30+5 ×0.20+6 ×0.10+7 ×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4 ×0.10+5 ×0.15+6 ×0.35+7 ×0.20+8 ×0.15=6.00． A C 18．解：（1）由题设及正弦定理得 sin Asin sin B sin A． 2 A C 因为sinA 0，所以 sin sin 2 B． A C B 由A B C 180 ，可得 sin cos 2 2 B B B ，故cos 2sin cos 2 2 2 ． B 因为cos 0 2 ，故 sin B 1 2 2 ，因此B=60°． （2）由题设及（ 1）知 △ABC的面积 3 S△ a ． ABC 4 由正弦定理得 a sin 120 C c sin A 3 1 sin C sin C 2 tanC 2 ． 由于 △ABC为锐角三角形，故 0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120° ，所以 30°C90°，故 1 2 a 2，从而 3 3 S△ ． ABC 8 2 理科数学试题 第 1 页（共 5 页） 因此， △ABC面积的取值范围是 3 3 , 8 2 ． 19．解：（1）由已知得 AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面， 从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE． 又因为AB 平面ABC，所以平面 ABC 平面BCGE． （2）作EH BC，垂足为 H．因为EH 平面BCGE，平面 BCGE 平面ABC，所以EH 平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1， EH= 3 ． 以H为坐标原点， HC 的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， 3 ），CG =（1，0， 3 ）， AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD的法向量为 n=（x，y，z），则 CG AC n n 0, 0, 即 x 3z 0, 2x y 0. 所以可取n=（3，6，– 3 ）． 又平面BCGE的法向量可取为 m=（0，1，0），所以 cos n,m n m 3 |n ||m | 2 ． 因此二面角 B–CG–A的大小为30°． 解：（1） 2 f (x) 6x 2ax 2x (3x a) ． 令 f (x) 0 ，得 x=0 或 a x . 3 a a 若a0，则当 x ( ,0) , 时， f (x) 0 ；当 x 0, 时， f ( x) 0 ．故 3 3 a f (x) 在( ,0), , 3 单调递增，在 0, a 3 单调递减； 若a=0， f (x) 在( , ) 单调递增； 理科数学试题 第 2 页（共 5 页） a a 若 a0，则当 x , (0, ) 时， f ( x) 0 ；当 x ,0 时， f (x) 0 ．故 3 3 a f (x) 在 , ,(0, ) 3 a 单调递增，在 ,0 3 单调递减 . （2）满足题设条件的 a，b 存在. （i）当 a≤ 0 时，由（ 1）知， f (x) 在[0，1]单调递增，所以 f (x) 在区间[0，l] 的 最小值为f (0)= b ，最大值为f (1) 2 a b .此时 a，b满足题设条件当且仅当 b 1， 2 a b 1，即 a=0， b 1． （ii ）当 a≥ 3 时，由（ 1）知， f (x) 在[0，1]单调递减，所以 f (x) 在区间[0，1] 的最大值为f (0)= b ，最小值为f (1) 2 a b．此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2 a b 1，b=1，即 a=4，b=1． 3 a a （iii ）当 0a3 时，由（ 1）知， f (x) 在[0，1]的最小值为f b，最 3 27 大值为b 或 2 a b ． 若 3 a 27 b 1，b=1，则 3 a 3 2 ，与 0a3 矛盾. 若 3 a 27 b 1， 2 a b 1，则 a 3 3 或 a 3 3 或 a=0，与 0a3 矛盾． 综上，当且仅当 a=0， b 1或 a=4，b=1 时，