第10章-第2节-矩阵对策的基本原理.ppt

第2节 矩阵对策的基本原理 2.1 矩阵对策的数学模型 二人有限零和对策就是矩阵对策，是指只有两个参加对策的局中人，每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一局势下，两个局中人的赢得之和总是等于零，即双方的利益是激烈对抗的。 在矩阵对策中，一般用I、II分别表示两个局中人，并设局中人I有m个纯策略 ，局中人II有n个纯策略 ，则局中人I、II的策略集分别为 当局中人I选定纯策略 和局中人II选定纯策略 后 ，就形成了一个纯局势 。对任一纯局势 ，记局中人I的赢得值为ai j，并称 为局中人I的赢得矩阵(或局中人II的支付矩阵)。由 于假定对策为零和的，故局中人II的赢得矩阵就是 -A。通常，将一个矩阵对策记成 G={I，II；S1，S2；A} 或 G={S1，S2；A} 例：齐王赛马 定理 1 矩阵对策G={S1，S2；A} 在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势 使得对一切i=1，…，m，j=1，…，n，均有 定义 2 设f (x,y)为一个定义在 及 上的实值函数，如果存在 及 ，使得对一切 和 ，有则称(x*, y*)为函数f 的一个鞍点。 性质 1 无差别性。即若 和 是对策G的两个解，则 。 性质 2 可交换性。即若 和 是对策G的两个解，则 和 也是解。 例9 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于当年秋季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最少？ 则S1*，S2*分别称为局中人I和II的混合策略集(或策略集)； 和 分别称为局中人I和II的混合策略(或策略)；对 ， ，称(x, y)为一个混合局势(或局势)，局中人I的赢得函数记成这样得到的一个新的对策记成G*={S1*，S2*; E}，称G*为对策G的混合扩充。 定义 4 设G*={S1*，S2* ；A}是矩阵对策G={S1，S2；A} 的混合扩充，如果记其值为VG。则称VG 为对策G*的值，称使(10-9)式成立的混合局势(x*，y*)为G在混合策略意义下的解(或简称解)，x*和y*分别称为局中人I和II的最优混合策略(或简称最优策略)。 定理 2 矩阵对策G={S1，S2；A} 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在 ，  ，使(x*，y*)为函数E(x,y)的一个鞍点，即对 ， ，有 例10 考虑矩阵对策G={S1，S2；A}， 其中 定理 3 设 ， ，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：对任意i=1，…，m和j=1，…，n，有 定理 4 设 ， ，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：存在数v，使得x*和y*分别是不等式组(I)和(II)的解，且v= VG 。 定理 5 对任一矩阵对策G={S1，S2；A}，一定存在混合策略意义下的解。定理 6 设(x*,y*)是矩阵对策G的解，v= VG 则 (1)若 ，则 (2)若 ，则 (3)若 ，则 (4)若 ，则  定理 7 设有两个矩阵对策 G1={S1，S2；A1} G2={S1，S2；A2} 其中 L为任一常数,则有