二面角四种求法_5个例题解决二面角难题.pdf

四法求二面角 二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面 角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。 （1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角 的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 O (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的 大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 O α B l A β 图3 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二 面角内，用垂面法。 O α A β C B l 图5 (4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面 角θ 的大小为COS θ= S`÷ S A B O D C 例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C 的平面角的正切值。 （三垂线定理法） 分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B 在平面PAC 上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。 解 ∵ PC⊥平面ABC ∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC 作BD⊥AC 于D 点，据面面垂直性质定理，BD⊥ 平面PAC，作DE⊥PA 于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED 是二面角B－PA －C 的平面角。 设PC＝a，依题意知三角形ABC 是边长为a 的正三角形，∴ D 是 ∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△ DEA 评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法 来求解。 例2 在60°二面角M－a－N 内有一点P，P 到平面M、平面N 的距离分别为1 和2， 求点P 到直线a 的距离。（图1－126） （垂面法） 分析 设PA、PB 分别为点P 到平面M、N 的距离，过PA、PB 作平面α，分别交M、 N 于AQ、BQ. 同理，有PB⊥a， ∵ PA ∩PB=P， ∴ a⊥面PAQB 于Q 又 AQ、BQ 平面PAQB ∴AQ⊥a，BQ⊥a. ∴ ∠AQB 是二面角M－a－N 的平面角。 ∴ ∠AQB＝60° 连PQ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有 ∠PAQ＝∠PBQ=90° ∴ P、A、Q、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R 在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得 AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7 由正弦定理： 评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。 例3 如图在三棱锥 S-ABC 中，SA⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度 数。（定义法） 解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC S ∴ BE ⊥SC，SC⊥面BDE ∴ BD ⊥SC，又SA⊥面ABC D ∴ SA⊥BD ，BD ⊥面