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场论基本知识补充 一、矢量运算符号规定 1.爱因斯坦（Einstein）求和符号 数学式子任一项中若出现一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指 标，表示求和。例如： a e a e =+a e +a e a i i 1 1 2 2 3 3 k a b +k e ie k (a b =+a b +a b )+3k 1 i i 2 j j 1 1 1 2 2 3 3 2 2.克罗内克尔（Kronecker）δ 符号 任意两个正交单位矢量的点积用δ 表示，称为克罗内克尔δ ij 1 i j  e ie δ  i, j 1,2,3 i j ij 0 i ≠ j  式中：i, j 是自由指标。上式表示δ δ δ 1 ，δ δ δ δ δ δ 0 11 22 33 12 21 23 32 13 31 3.置换符号 任意两个正交单位矢量的叉积可表示为 e ×e ε e i j ijk k 式中：ε 称为置换符号，又称利西（Ricci ）符号，其数值如下： ijk 0 i, j, k 2 3  中有个或个自由指标值相同  ε 1 i , j ,k 23 3 ijk  中按1231 顺序任取个排列  −1 i , j ,k 321321 3  中按 顺序任取个排列 上式表示ε ε ε 1，ε ε ε −1 ，其余分量为 0 。由此可知，ε 中任 123 231 312 132 213 321 ijk 意两个自由指标对换，对应分量相差一个负号，如ε −ε 故ε 称为置换符号。 132 123 ijk 二、哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子 1.正交曲线坐标系 利用哈密尔顿算子∇可以方便地推导或证明一些公式并使数学表达形式简捷，它是 一个具有微分及矢量双重运算的算子，适用于任意正交曲线坐标系，但其具体形式在不 同坐标系中是不同的。 1 ∂ 哈密尔顿算子：∇ ei hi ∂qi 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ 标量φ 的梯度：∇φ ei e1 +e2 +e3