油罐刻度设计数学模型.pdf

第37 卷第 16 期 数学的实践与认识 V o l37　N o 16　 2007 年8 月 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y A ugust, 2007　 建　　模 油罐刻度设计的数学模型及数值解法 王若鹏, 　吴国民 (北京石油化工学院 数理系, 北京　102617) 摘要: 　从炼油厂储油罐上的刻度设计问题入手, 建立了储油量与刻度之间关系的积分和微分方程数学模 型, 利用数值解法得到了实际问题中储油罐刻度的设计方案, 并给出了储油量与刻度差的关系曲线. 关键词: 　数学模型; 数值解法; cauchy 问题; 刻度设计 1　引　　言 　　在石油的产地和加工厂, 为了储存原油, 经常使用大量的储油罐. 油罐的外形由三部分 构成, 中间是一个平放圆柱体, 两边是由一个椭球体沿对称轴一分为二的两个半椭球体焊接 在圆柱体两端组合而成, 上端有注油孔. 由于经常注油和取油, 很难知道注入油和取出油的 数量, 这给注油和取油数量的统计带来很大的麻烦. 因此, 要给油罐上安装一个精细的刻度 计, 工人根据刻度计就能知道每次注入和取出油的量的多少. 如何设计刻度计的刻度呢? 这 是一个来自油田的实际问题. 2　模型建立 设圆柱体的底面半径为R , 高度为L , 而椭球体的长半轴、短半轴、竖半轴的长分别为R 、 a、R . 若油罐上刻度计的刻度为 h , 而此时油罐内的储油量为V , 那么问题归结为求出函数 h = h (V ) , 　0 V V m ax ( 1) 其中满足 V = 0 时, h = 0. V = V m ax 时, h = 2R . 而油罐是由圆柱体和两个椭球体焊接而成的, 故有 2 4 2 V m ax = R L + aR (2) 3 换言之, 要求油量关于刻度计的刻度函数 V = V (h ) 　0 h 2R (3) 的反函数. 模型一　积分方法建模 记 V (h ) = V 圆柱 (h ) + V 椭球 (h ) , 其中V 圆柱 (h ) 和V 椭球 (h ) 分别表示当刻度为 h 时油罐 内的储油量. 先计算圆柱体, 如图1 所示, 圆柱体储油部分的高度为h 时, 横截面的面积为S (h ) , 那么 收稿日期: ( ) 基金项目: 北京石油化工学院校内青年科研基金 编号: N 0629 2 数　学　的　实　践　与　认　识 37 卷 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) S h = 2 R - R - h L 　 0 h 2R 4 图1 故高度为 h 时,