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第三章 重要的概率分布 正态分布； 分布； t分布； F分布。 3.1 正态分布 对于连续型随机变量而言，正态分布(normal distribution)是最重要的一种概率分布。 经验表明：对于依赖于众多微小因素；且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。 如人的体重，因为遗传、骨骼结构、饮食、锻炼、等都对人的体重有影响，但又没有一种因素起到压到一切的主导作用。与此相类似，人的身高、考试分数等都近似地服从正态分布。 通常用： X～N(u, ) (3 - 1) 表示随机变量X服从正态分布。N表示正态分布，括号内的参数u, 称为正态分布的总体均值(或期望)和方差。 3.1.1 正态分布的性质 (1) 正态分布曲线以均值u为中心，对称分布。 (2) 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值u处达到最高，向两边逐渐降低，即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。 (3) 正态曲线下的面积约有68%位于u ±两值之间；约有95%的面积位于u±2之间；而约有99.7%的面积位于u±3之间。 ★ (4) 两个(或多个)正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。 令X和Y相互独立： X～N(uX，) Y～N(uY，) 现在考虑两个变量的线性组合：W＝a X+b Y 则 W～N(uW，) ( 3 - 2 ) 其中， uW =(auX＋buY) ( 3 - 3 ) = (+) (3 - 4) 例3.1 令X表示在下沙高教区一花店每日出售玫瑰花数量， Y表示在下沙镇一花店每日出售玫瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有： X～N( 100，64 )，Y～N( 150，81 ) 求两天内两花商出售玫瑰花数量的期望及方差？ W＝2X＋2Y 根据式( 3 - 3 ) E(w)＝E( 2X+ 2Y) = 5 0 0， Var (w) = 4var(X) + 4var(Y) = 5 8 0 因此，W服从均值为5 0 0，方差为5 8 0的正态分布，即W～N( 5 0 0，5 8 0 )。 ★★3.1.2 标准正态分布 两个正态分布可能因为期望或方差的不同，或是期望和方差均不同而相区别。如何比较各种不同的正态分布呢？ 定义一个新的变量Z： 如果变量X的均值为u，方差为，则根据式(3 - 4)，变量Z的均值为0，方差为1。称之为标准正态变量(standard normal variable) 。 即若X～N(u，)，那么变量Z就是标准正态变量，用符号表示为： Z～N(0，1) (3 - 5) 证明： 均值为0 因为有E (aX+b) = a E(X) + b，所以 （2）方差为1 因为有var ( aX +b ) = a2var ( X ) ，所以 图3 - 3a和3 - 3b分别给出标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数。 例3.2 变量x表示花房每日出售的玫瑰花量，假定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即X～N( 70，9 )，求任给一天，出售玫瑰花数量大于75支的概率。 服从标准正态分布，求P(Z 1 . 6 7 )。 从附录表可知， Z位于区间( 0 , 1.3 )的概率为0.4032，位于( 0，2.5 )的概率为0.4938。由正态分布的对称性可知，Z位于区间(-1.3 , 0 )的概率也为0.4032，位于(-2.5 , 0 )的概率为0.4938。由于这种对称性，在标准正态分布表中一般仅给出Z取正值的情形。也就是说，标准正态密度函数，在Z=0的左右面积均为0.5，整个面积(或概率)为1。 根据正态分布表得： P( 0≤Z≤1.67)=0.4525 因此， P(Z1.67)=0.5000－0.4257=0.0475 即每天出售玫瑰花的数量超过75支的概率为0.0475。(参见图3-3a ) 例3.3 继续例3. 2 ,现假定要求每天出售玫瑰花数量小于或等于7 5支的概率。 概率为： 0.500 0+0.452 5=0.952 5 (见图3-3b )。 例3.4 求每天出售玫瑰花数量在在65与75支之间的概率。 查表得， P(－1.67≤Z≤0)=0.4525 P(0≤Z≤1.67)=0.4525 由正态分布的对称性得到， P(－1.67≤Z≤1.67)=0.9050 即每天出售面包的数量介于65条与75条之间的概率约为90.5% (见图3-3a )。 上面的例子表明：一旦知道某一正态变量的期望与方差，先将其转化为标准正态变量，然后根据正态分布表求得相应的概率。 ★★3.2样本