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三类二阶有理差分方程的动力学性质的开题报告

一、研究背景

有理差分方程是离散化处理的常系数线性微分方程在分布式控制系统和数字信号处理等领域的常见应用，其具有可计算的性质和较高的数值稳定性。二阶有理差分方程则是二阶离散化常系数线性微分方程的离散化形式，其具有比一阶更为丰富的动力学性质，并且能够模拟更复杂的现象。

在二阶有理差分方程中，当分母次数相同时，可分为三类不同的类型。这三类类型分别为：一类是正交类型，又称自治型；另外两类则为非正交类型，其中一类称为周期型，另一类称为混沌型。自然界中很多复杂的现象，如心电图、水平面上的流动、生物群落的演化等，这些现象往往具有周期性或混沌性，因此二阶有理差分方程的研究具有较高的应用价值。

二、研究内容

本文将主要研究三类二阶有理差分方程的动力学性质。具体内容如下：

1.对正交类型进行研究，探究其固定点、稳定性和周期性等动力学特性。

2.对周期型进行研究，研究其存在的周期解、幅度特性和周期变化规律等。

3.对混沌型进行研究，研究其吸引子、分岔现象和非周期性运动形式等。

我们将通过数值模拟和理论分析的方法，探究不同类型的二阶有理差分方程的动力学特性，为其应用提供理论支持。

三、研究意义

1.为分布式控制系统和数字信号处理等领域的应用提供理论支持，进一步提高其应用效果。

2.深入研究有理差分方程的动力学特性，对于理解自然界中的复杂现象有一定的意义。

3.拓展理论研究的范围和深度，为更加深入的动力学研究提供借鉴。

四、研究方法

本文将通过以下方法进行研究：

1.数值模拟：以MATLAB等软件为工具，对三类不同类型的二阶有理差分方程进行数值模拟。

2.理论分析：通过数学分析和推导，得出三类二阶有理差分方程的解析解，并研究其动力学特性。

3.综合分析：将数值模拟和理论分析的结果进行综合分析，得出全面的研究结论。

五、进度安排

1.第一学期：学习二阶有理差分方程的相关知识，熟悉研究方法，查阅相关文献，撰写开题报告。

2.第二学期：深入研究正交类型，并进行数值模拟和理论分析；同时开始对周期型和混沌型进行研究。

3.第三学期：对周期型和混沌型进行深入研究，并进行数值模拟和理论分析；撰写论文初稿。

4.第四学期：完善论文，并进行答辩准备。

六、预期成果

1.在正交、周期和混沌三类二阶有理差分方程的研究中，得出它们的各种运动形式，并基于实验和理论提取一些普遍规律。

2.收集三类二阶有理差分方程的运动图，以图形的方式展现它们的动力学行为，形成丰富的图谱。

3.成功发表高水平的学术论文，并取得一定的研究成果。