小学数学教研论文：“图形与变换”的备课与教学.docx

小学数学教研论文：“图形与变换”的备课与教学　　一、引进的背景。　　为什么要在中小学引进图形与变换的内容？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。　　我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上写成的不配名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧氏几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，从数学的视角欧氏几何提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，并且应用广泛，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。　　尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实暴露出一些问题。例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大，等等。这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、解决。怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？　　一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度，等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。　　另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。　　从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（KIein,1849～1925）在爱尔兰根大学做了现在大家叫做《爱尔兰根纲领》的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。《爱尔兰根纲领》公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论及应用呈现出前所未有的局面。这一观点对基础教育数学课程中几何教学的改革也产生影响。　　按照克莱茵的观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。例如，线段的长度不变、角的大小不变和直线的性质不变，等等，都是在全等变换下的不变量和不变性。但线段的长度不变，在相似变换下就不再存在（相似比为1除外）。于是两线段的比不变，又成了相似变换下的不变量。正是这些建筑在不变量和不变性基础上的图形性质，构成了我们所研究的几何基本内容。　　从国际数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说集合与对应的思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。　　由此可以说，将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。　　从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车车厢在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的开头具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。　　从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换可以引出无数美妙和图案，使数学更生动地与现实世界联系起来，从而诱发学生主动探索奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。　　总之，通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。　　当然，充分肯定引进图形与变换这部分内容的作用，并不是说它比其他内容更重要，更不能认为它可以代替其他内容的学习。我认为，这主要是因为学生只学习传统几何内容不能适应时代要求，而作出的必要补充。　　　　二、概念的理解。　　以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，