等效重力场的运用.doc
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将等效重力场法运用到底
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对处在匀强电场中的宏观物体而言,它的周围不仅有重力场,还有匀强电场,同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些。此时,若能将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”(可形象称之为“等效重力场”)来代替,不仅能起到“柳暗花明”的效果,同时也是一种思想的体现。那么,如何实现这一思想方法呢?
? 一、概念的全面类比
? 为了方便后续处理方法的迁移,必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下:
? 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力重力、电场力的合力
? 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值
? 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
? 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
? 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
? 二、处理方法的迁移
? 例1 如图所示,倾角的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中,电场强度,有一个质量为的带电小球,以速度沿斜面匀速下滑,求:(1)小球带何种电荷?电荷量为多少?(2)在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面,此后经内小球的位移是多大?(取)
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? 解析:(1)由于小球匀速运动,所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡,如图可知,小球必带正电,且,所以;
? 从“等效重力场”观点看,实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡,故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为、。
(2)撤去斜面后,小球仅受等效重力作用,且具有与等效重力方向垂直的初速度,所以小球做“平抛运动”(严格地讲是类平抛运动,这里只是为了方便说明和处理,以下带引号的名称意义同样如此。),基本处理的方法是运动的分解。
? 如图,小球在轴方向做匀速直线运动,在轴方向做“自由落体运动”,则有,其中,,
解得:,所以内的总位移大小为
? 考虑到分析习惯,实际处理时可将上述示意图顺时针转过角,让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近。
? 例2 如图所示,一条长为的细线,上端固定,下段拴一质量为的带电小球,将它置于一匀强电场中,电场强度大小为,方向水平向右。已知当细线偏离竖直位置的夹角为时,小球处于平衡状态,如果使细线的偏转角由增大到,然后将小球由静止开始释放,则:(1)应为多大,才能使在细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零?(2)若,那么(1)问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间?
? 解析:(1)从“等效重力场”观点看,小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”,初始释放点和几何最低点是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点,如图所示,它们应该关于等效“最低点”对称,所以;
? (2)时,小球的振动可近似看成简谐运动,由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半,即
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,其中
? 所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为
? 与传统的处理方法相比较,等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程,达到了事半功倍的效果。
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例3 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置,半径为,在其最低点处放一质量为的带电小球,整个空间存在匀强电场,小球受到的的电场力大小为,方向水平向右,现给小球一个水平向右的初速度,使小球沿轨道向上运动,若小球刚好能做完整的圆周运动,求大小。
? 解析:小球同时受到重力和电场力作用,可认为小球处在等效重力场中。小球所受的等效重力大小为,其中,且如图又有,即,也就是等效重力的方向与竖直方向成。
? 故图中为等效“最低点”,为等效“最高点”。小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”,在点等效重力提供向心力,即
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,可得
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对小球从运动到的过程应用动能定理
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代入相关物理量解得:
此处,借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解,不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义。
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例4 如图,水平放置的平行金属板间有匀强电场,一根长的绝缘细绳一端固定在点,另一端系有质量为的带电小球,小球原来静止在点,当给小球一个水平速度后,它可以在竖直面内绕点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍,求:要使小球从点开始在竖直面内绕点做圆周运动,至少要给小球多大的水平速度?在这种情况下,在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大?
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解析:只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时,它才可以在竖直面内做匀速圆周运动,对小球经过最右端瞬间分析可知,小球所受电场力必须和重力平衡,即,方向竖直向上。
? 金属板间的
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