研究生数值分析第一章.ppt

数值分析 结构工程－实验、理论、科学计算 最早起源于经验或实验 伽利略关于梁的试验 到19世纪中叶，靠直观感觉的时代结束了。 建立了以结构力学为基础的一整套理论，现代建筑的空间概念是与其结构的力学概念密切相关的。 20世纪40年代计算机的出现和60年代有限元理论的发展，大大扩展了理论分析的范围。随着对材料性能的研究，出现了仿真计算。形成了土木工程的又一个分枝－计算 数值分析概括为用计算机求解数学问题的数值方 法和理论。我们在工程计算和科学实验中会遇到诸如 线性方程组的求解、微分、积分、微分方程的求解等 常见的数学问题。这些问题大家已经在相应的数学课 程中学过，通常的思维是求出（或推导出）结果的表 达式，然后应用表达式寻求答案。但在实际中结果的 表达式（又称解析解），例如满足某个微分方程的函 数，某个函数的原函数是不易求得的，这就需要数学 理论与计算机结合起来，寻求(设计)合适的算法以期 得到问题的近似数值解，这就是数值分析所要研究的 问 题 。 下 面 是 两 种 思 维 过 程 的 对 比 ： ?通常解决数学问题的思维方式 实际问题 数学模型 结果表达式 结果 实际问题 数学模型 算法设计 编程计算结果 后者也正是利用计算机解决科学计算的过程。 ?数值分析的思维方式 众所周知，电子计算机实质上只会做加 减乘除等基本运算，研究怎样通过计算机所 能执行的基本运算，求得各类数学问题的数 值解或近似解就是数值计算的根本课题。由 基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的 解题步骤，称为算法。数值计算的根本任务 就是研究算法。 x x x7 sin x = x ? + ? +L+(?1)n x x x7 sin x ≈ x ? + ? +L+(?1)n 通过编制程序我们就可以计算sinx的近似值。事实上， 计算机语言常用的数学运算的标准函数也可用这种方法 写成。 3 5 3! 5! 7! + R2n+1(x) x2n+1 (2n+1)! 3 5 3! 5! 7! x2n+1 (2n+1)! 例 计算任意角的三角函数，如sinx。不调用库函数，计 算机是不能直接计算sinx的。根据微分学的Taylor公 式，我们有： 等式的右端就只是乘法与加法的循环运算。取 例 计算多项式 0.0625 x4 + 0.425x 3 +1.215x 2 +1.912x + 2.1296 的值。 算法1：按原形计算： 需做 十次乘法、 四次加法 算法2；上述多项式化为 (((0.0625x + 0.425)x +1.215)x +1.912)x + 2.1296 则需做四次乘法、 四 次加法。 换为 (b1 2 ...... bn) b 例 解线性方程组 a11x1 +a12x2 + ...+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 ............................................ an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = bn 其中 , ...... a1n ...... a2n ...... ... ...... ann a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 D = Dk是把D 中第k列 (a1k a2k ...... ank)T T 这要计算 n+1 个行列式，做 n 次除法。 而每个行列式包含 n! 个乘积，每个乘积 n-1 需做 次乘法.这样共需做 An = (n+1)!(n?1)+ n 次乘除法。当n=20时，A20 ≈ 9.7×1020 这意味 着在每秒做一亿次乘除法的计算机上，要做 多万年！ 因此，在构造算法时，还应考虑如何 计算, 才能既快又省。 v v Ax = b, x , a , ln x, d ∫ ? 提问：数值分析是做什么用的？ 数值 分析 输入复杂问题或运算 x b